Физика · Атомная и квантовая физика · 11 класс

Волны де Бройля

Электрон — частица, так почему, пройдя сквозь кристалл, он рисует на экране кольца, как волна?

Ситуация

Биолог не видит вирусы в обычный микроскоп: вирус имеет размер около 100 нм, а микроскоп не различает детали меньше примерно половины длины волны света (≈ 200 нм). В электронном микроскопе вирус виден отчётливо — ведь ускоренный электрон тоже волна, и его длина волны меньше атома. Но электрон — это частица с массой и зарядом! Если запускать электроны по одному, на экране появляются случайные точки, а когда набираются тысячи точек, проступают интерференционные полосы, свойственные волнам. Как частица может быть волной и от чего зависит её длина волны?

Тема

Волновые свойства частиц. Электронный микроскоп и двойная щель, через которую проходят электроны по одному

Ключевые понятия

λ = h/p
Дифракция электронов
Соотношение неопределённостей

Формулы

λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m e U}} \approx \frac{1,226}{\sqrt{U [V]}} nm

Длина волны де Бройля для электрона, ускоренного напряжением $U$ (при десятках кВ добавляется релятивистская поправка).

2 d \sin θ = n λ, D \approx \frac{2 L λ}{d}

Условие Вульфа–Брэгга и диаметр кольца на электронограмме ( $L$ — расстояние от графита до экрана, $d$ — расстояние между плоскостями).

a \sin φ = n λ

Дэвиссон–Джермер: ряды атомов на поверхности кристалла ( $a = 0,215$ нм) работают как дифракционная решётка.

Δ x_{эк} = \frac{λ L}{d}

Двойная щель: расстояние между интерференционными полосами на экране ( $d$ — расстояние между щелями, $L$ — расстояние до экрана).

Δ x Δ p_{x} \geq \frac{ℏ}{2}, v_{gr} = \frac{d ω}{d k} = v, v_{f} = \frac{ω}{k} = \frac{v}{2}

Соотношение неопределённостей Гейзенберга; групповая и фазовая скорости волнового пакета свободного электрона.

Теория

Дуализм и гипотеза де Бройля

Свет в интерференции и дифракции ведёт себя как волна, а в фотоэффекте и эффекте Комптона — как частица (фотон): это корпускулярно-волновой дуализм. В 1924 году Луи де Бройль высказал обратную идею: любая частица тоже обладает волновыми свойствами, $λ = h / p$ . Для электрона, ускоренного напряжением 100 В, $λ = 0,123$ нм — того же порядка, что и расстояние между атомами в кристалле, поэтому кристалл служит для электронов дифракционной решёткой. А для теннисного мяча массой 60 г при скорости 1 м/с $λ \approx 10^{- 32}$ м — никакой прибор этого не заметит: для больших тел квантовая физика переходит в классическую (принцип соответствия).

Томсон и Тартаковский: кольца

В трубке электронографа электроны проходят через тонкий слой графита. Графит состоит из мелких кристалликов, ориентированных по-разному. Если в каком-то кристаллике плоскости стоят под углом, удовлетворяющим условию Вульфа–Брэгга $2 d \sin θ = n λ$ , электроны отклоняются на $2 θ$ ; все ориентации вместе дают конус, а на экране — кольцо ( $d_{1} = 0,213$ нм, $d_{2} = 0,123$ нм). При увеличении $U$ длина волны $λ$ уменьшается — диаметр колец уменьшается. В 1927–1928 годах Дж. П. Томсон и независимо от него П. С. Тартаковский пропускали электроны через тонкие поликристаллические металлические плёнки и получили такие же кольца. При той же $λ$ точно такие кольца дают и рентгеновские лучи (метод Дебая–Шеррера), и нейтроны. В трёхмерном кристалле должны одновременно выполняться три условия Лауэ; волны, отражённые от некоторых плоскостей, гасятся из-за расположения атомов (структурный фактор $F = 0$ ), поэтому не каждое $d$ даёт кольцо.

Опыт Дэвиссона–Джермера

К. Дэвиссон и Л. Джермер направили электроны перпендикулярно на кристалл никеля и измерили ток отражённых электронов в зависимости от угла. При 54 эВ в направлении $φ \approx 50 °$ обнаружился резкий пик. Расстояние между рядами атомов на поверхности $a = 0,215$ нм, значит, $λ = a \sin 50 ° \approx 0,165$ нм, а формула де Бройля даёт $h / p = 0,167$ нм. Пик сильный только в определённом интервале энергий: волны, отражённые от более глубоких слоёв, тоже должны складываться в фазе (второе условие Лауэ). Модель: 6 поверхностных рядов и 8 слоёв друг под другом ( $c = 0,203$ нм, в каждом слое амплитуда уменьшается в 0,55 раза); ускорение электрона внутри кристалла (внутренний потенциал) не учтено, фон приблизительный, ток в относительных единицах.

Статистическая интерпретация: электроны по одному

В электронном микроскопе поток можно уменьшить настолько, что в колонне одновременно находится лишь один электрон. Каждый электрон оставляет на экране одну точку — как частица, и заранее предсказать, куда он попадёт, нельзя. Но тысячи точек рисуют интерференционную картину. Интерпретация М. Борна: $| ψ (x) |^{2} d x$ — вероятность обнаружить электрон в этом месте; электрон проходит через обе щели как волна. Если же измерить, через какую щель прошёл каждый электрон, интерференция исчезает: картина становится суммой двух картин от одной щели — измерение меняет состояние. Это принцип дополнительности Н. Бора: волновые и корпускулярные свойства дополняют друг друга, но в одном опыте увидеть оба сразу нельзя.

Соотношение неопределённостей и волновой пакет

Электрон, находящийся в определённом месте, — это не одна синусоида, а суперпозиция волн с разными $k$ , то есть волновой пакет. Чем уже пакет, тем шире нужен интервал $k$ : $Δ x Δ k \geq 1 / 2$ , то есть $Δ x Δ p \geq ℏ / 2$ (Гейзенберг). То же происходит на одной щели: щель определяет положение электрона с точностью $Δ x \approx a$ и тут же размывает поперечный импульс до $Δ p_{x} \approx h / a$ — если сузить щель, пятно на экране расширится. Центр пакета движется с групповой скоростью $v_{g r} = d ω / d k = p / m$ , то есть со скоростью самой частицы; а гребни волн сдвигаются медленнее — с фазовой скоростью $v_{f} = ω / k = v / 2$ . Свободный пакет со временем расплывается: $σ (t) = σ_{0} \sqrt{1 + {(ℏ t / 2 m σ_{0}^{2})}^{2}}$ , а распределение по импульсам остаётся неизменным.

Об электронном микроскопе и модели

Электронный микроскоп создали в 1931 году Э. Руска и М. Кнолль: магнитные линзы с медными катушками фокусируют электроны так же, как стеклянные линзы фокусируют свет. При 100–300 кВ $λ$ составляет несколько пикометров, а разрешение из-за аберраций линз — примерно 0,05–0,2 нм. Модель: электронограф $L = 13,5$ см, экран сферический; для двойной щели принято расстояние от щели до экрана $L = 1$ м, и участок экрана ±60 мкм показан увеличенным (в настоящих опытах картину увеличивают электронными линзами). Полёт электронов в колонне сильно замедлен; на треке волнового пакета 1 с = 10 фс. Яркость колец и полос относительная.

Знаете ли вы?

Джозеф Джон Томсон получил Нобелевскую премию в 1906 году за исследование электропроводности газов — эти работы показали, что электрон — частица. А его сын Джордж Педжет Томсон в 1937 году вместе с К. Дэвиссоном был удостоен Нобелевской премии за открытие дифракции электронов — то есть волновых свойств электрона.
Луи де Бройль изложил идею о том, что частицы обладают волновыми свойствами, в докторской диссертации в 1924 году; после подтверждения опытами он получил Нобелевскую премию по физике в 1929 году.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Радиоактивность, период полураспада — 11 класс
Ядерные реакции — 11 класс
Орбитали атома водорода — 11 класс
Тепловое излучение и Планк — 11 класс
Импульс фотона и эффект Комптона — 11 класс
Опыт Резерфорда — 11 класс
Атомное ядро и энергия связи — 11 класс
Термоядерный синтез — 11 класс
Регистрация частиц — 11 класс
Элементарные частицы — 11 класс