Физика · Атомная и квантовая физика · 11 класс

Тепловое излучение и Планк

Почему раскалённое железо светится сначала красным, потом жёлтым и белым?

Ситуация

Мастер-ножовщик из Чуста сует кусок стали в горн и качает мехи. Сначала в темноте сталь едва заметно светится тёмно-красным, потом становится вишнёвой, затем оранжевой и жёлто-белой — температуру мастер определяет без термометра, по цвету. А у горна рука нагревается от невидимых лучей. Почему цвет нагретого тела зависит от температуры и как этот вопрос изменил физику в начале XX века?

Тема

Тепловое излучение и гипотеза Планка. Кузница: раскалённое железо от красного до белого цвета

Ключевые понятия

Формула Планка
Закон Вина
Закон Стефана–Больцмана

Формулы

B_{λ} (T) = \frac{2 h c^{2}}{λ^{5}} \frac{1}{e^{h c / λ k T} - 1}

Формула Планка: спектральная яркость абсолютно чёрного тела.

λ_{m a x} T = b = 2,898 \cdot 10^{- 3} m \cdot K

Закон смещения Вина: у стали при 1000 °C $λ_{m a x} \approx 2,28$ мкм — инфракрасная область.

M = ε σ T^{4}, σ = 5,670 \cdot 10^{- 8} V t / (m^{2} \cdot K^{4})

Закон Стефана–Больцмана ( $ε = 1$ — абсолютно чёрное тело).

B_{λ}^{R J} = \frac{2 c k T}{λ^{4}}

Формула Рэлея–Джинса: следует из формулы Планка при $λ k T ≫ h c$ ; на коротких волнах — «ультрафиолетовая катастрофа».

ε (λ, T) = α (λ, T), u = \frac{4 σ T^{4}}{c}, p = \frac{u}{3}

Закон Кирхгофа; плотность энергии и давление фотонного газа.

Теория

Тепловое излучение и абсолютно чёрное тело

Заряды в любом теле с температурой выше абсолютного нуля колеблются при тепловом движении и излучают электромагнитные волны — это тепловое излучение; его спектр сплошной. Поглощательная способность $α$ — доля поглощённого падающего света, излучательная способность $ε$ — отношение излучения тела к излучению идеального излучателя при той же температуре. Абсолютно чёрное тело полностью поглощает волны всех длин ( $α = 1$ ). Лучшая его модель — маленькое отверстие в стенке полости: попавший внутрь свет многократно отражается и почти полностью поглощается. Равновесное излучение полости зависит только от температуры и не зависит от материала стенок — поэтому излучение чёрного тела универсально. Печь в режиме «Лаборатория» — как раз такая модель чёрного тела.

Закон Кирхгофа и пирометры

Закон Кирхгофа: на каждой длине волны $ε (λ, T) = α (λ, T)$ — хорошо поглощающее тело хорошо излучает. Сажа и отверстие полости, которые при комнатной температуре выглядят самыми чёрными, при нагревании светятся ярче всего, а полированный металл отражает свет и излучает мало. Белая глазурь отражает видимый свет (выглядит белой, слабо светится), но в инфракрасной области почти чёрная ( $ε \approx 0,9$ ) — термоэлемент регистрирует её излучение почти как у сажи. В 1804 году Джон Лесли поставил такой опыт с кубом с горячей водой, имевшим разные покрытия. Оптический пирометр измеряет яркость раскалённого тела на 650 нм; если в него не ввести правильное $ε$ , он покажет «яркостную температуру» ниже истинной.

Законы Вина и Стефана–Больцмана

С ростом температуры максимум спектра смещается в сторону коротких волн: $λ_{m a x} = b / T$ . У стали при 1000 °C $λ_{m a x} \approx 2,28$ мкм — это инфракрасная область! Видимый свет — лишь коротковолновый «хвост» спектра, поэтому сначала появляется красный цвет; при дальнейшем нагреве «хвост» расширяется в сторону жёлтого и синего, и цвет становится оранжевым, жёлтым, белым. Максимум излучения Солнца ( $T \approx 5 772$ К) приходится на ≈ 502 нм. Полное излучение $M = σ T^{4}$ : при увеличении температуры вдвое мощность растёт в 16 раз. На видимую область приходится всего ≈ 10 % излучения лампы накаливания (≈ 2 800 К) — остальное инфракрасное; у горна рука нагревается как раз от этих лучей.

Ультрафиолетовая катастрофа и гипотеза Планка

По классической физике каждая стоячая волна (мода) в полости имеет среднюю энергию $k T$ , а число мод на коротких волнах растёт как $λ^{- 4}$ . В результате формула Рэлея–Джинса согласуется с опытом на длинных волнах, а на коротких стремится к бесконечности — полная энергия получается бесконечной (ультрафиолетовая катастрофа). Включите на графике кривую Рэлея–Джинса. В 1900 году Макс Планк предположил, что осциллятор может получать энергию только порциями $h ν$ ( $E = n h ν$ ). Тогда моды высокой частоты «вымерзают»: средняя энергия равна $h ν / (e^{h ν / k T} - 1)$ , и формула Планка согласуется с опытом во всём спектре; $h = 6,626 \cdot 10^{- 34}$ Дж·с. В 1905 году Эйнштейн пришёл к выводу, что и сам свет состоит из фотонов (фотоэффект, импульс фотона и эффект Комптона — в других экспериментах).

Фотонный газ и флуктуации

Равновесное излучение можно рассматривать как фотонный газ: фотоны подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна, их химический потенциал равен нулю, заселённость моды $\overline{n} = 1 / (e^{h ν / k T} - 1)$ . Отсюда получаются плотность энергии $u = 4 σ T^{4} / c$ , давление $p = u / 3$ , плотность энтропии $s = 4 u / (3 T)$ и концентрация фотонов $n \approx 2,03 \cdot 10^{7} T^{3}$ м⁻³. Число фотонов флуктуирует: $⟨ Δ N^{2} ⟩ = \overline{N} (1 + \overline{n})$ ; в видимом свете $\overline{n} ≪ 1$ , поэтому отношение сигнал/шум $\approx \sqrt{N}$ . Поэтому у любого измерителя излучения есть предел чувствительности: чтобы измерить слабый сигнал, нужно дольше накапливать (усреднять) — попробуйте это в режиме «Лаборатория».

Звёзды и границы модели

Цвет звезды определяет температуру её поверхности (закон Вина), а по светимости и температуре находят радиус: $L = 4 π R^{2} σ T^{4}$ . Красная Бетельгейзе холодная (≈ 3 600 К), но из-за огромных размеров примерно в 100 тысяч раз ярче Солнца; белый карлик Сириус B горячий (≈ 25 000 К), но по размерам близок к Земле. Межзвёздная пыль сильнее поглощает и рассеивает синий свет, поэтому далёкие звёзды кажутся более красными — при определении температуры это нужно учитывать. Модель: звёзды приняты за чёрные тела; излучательная способность поверхностей — приближённая двухполосная модель (волны короче и длиннее 2,5 мкм); распределение температуры по железу и цвет каления на экране приблизительные.

Знаете ли вы?

Макс Планк объявил гипотезу квантов 14 декабря 1900 года на заседании Немецкого физического общества — этот день часто называют днём рождения квантовой физики. Планк получил Нобелевскую премию по физике за 1918 год.
Реликтовое излучение Вселенной — излучение почти идеального чёрного тела с температурой ≈ 2,725 К; спутник COBE в 1990 году показал, что оно очень точно соответствует спектру Планка. В каждом кубическом сантиметре пространства около 410 реликтовых фотонов.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Фотоэффект — 11 класс
Строение атома и спектры — 11 класс
Радиоактивность, период полураспада — 11 класс
Ядерные реакции — 11 класс
Орбитали атома водорода — 11 класс
Импульс фотона и эффект Комптона — 11 класс
Волны де Бройля — 11 класс
Опыт Резерфорда — 11 класс
Атомное ядро и энергия связи — 11 класс
Термоядерный синтез — 11 класс