Физика · Атомная и квантовая физика · 11 класс

Орбитали атома водорода

Где находится электрон в атоме и откуда берутся формы орбиталей?

Ситуация

На уроке химии вы рисуете орбитали «шариками» и «гантелями». Но электрон не вращается внутри атома по орбите, как планета, — он «облако» вероятности. Красный свет водородной лампы (656 нм) возникает, когда электрон переходит от одной формы облака к другой. Откуда берутся формы этих облаков и почему у них есть «узловые» поверхности, на которых электрон не встречается никогда?

Тема

Орбитали атома водорода. Электронное облако — 3D-формы

Ключевые понятия

Волновая функция
Квантовые числа
Узловые поверхности

Формулы

ψ_{n l m} (r, θ, φ) = R_{n l} (r) Y_{l m} (θ, φ)

Точное решение уравнения Шрёдингера для атома водорода: радиальная часть и сферическая гармоника.

E_{n} = - \frac{13,6 эВ}{n^{2}}

Энергия зависит только от главного квантового числа $n$ : на одном уровне $n^{2}$ орбиталей.

P (r) = r^{2} R_{n l}^{2} (r), r_{1 s} = a_{0} = 0,529 Å

Вероятность найти электрон в тонкой оболочке на расстоянии $r$ ; для 1s максимум — на радиусе Бора.

N_{рад} = n - l - 1, N_{угл} = l

Число узловых поверхностей: сферы и плоскости (конусы).

λ = \frac{h c}{E_{n_{2}} - E_{n_{1}}}

Суперпозиция двух состояний «колеблется» с частотой $Δ E / h$ и испускает фотон с соответствующей длиной волны.

Теория

Облако вероятности

Сама волновая функция $ψ$ не измеряется, но $| ψ |^{2} d V$ — вероятность найти электрон в объёме $d V$ . Каждая точка на сцене — один воображаемый результат измерения: где точки гуще, там электрон встречается чаще. Точки постоянно обновляются — каждое измерение даёт новое место. Цвет показывает знак (фазу) $ψ$ : синий — положительный, красный — отрицательный. В химической связи важно именно то, как эти знаки складываются или вычитаются.

Квантовые числа

n = 1, 2, 3… определяет энергию и размер облака ( $⟨ r ⟩ = \frac{a_{0}}{2} [3 n^{2} - l (l + 1)]$ ). l = 0…n−1 задаёт форму: s, p, d, f. m = −l…l задаёт ориентацию. «Вещественные» орбитали на сцене ( $p_{x}$ , $d_{x y}$ , …) — комбинации комплексных состояний с $\pm m$ ; именно такие формы показаны в учебниках химии. В водороде энергия всех орбиталей с одинаковым $n$ одинакова.

Узлы

Поверхности, где $ψ = 0$ , — узлы: там электрон не встречается никогда. Число радиальных узлов (сфер) равно $n - l - 1$ , число угловых узлов (плоскостей и конусов) равно $l$ . Например, у $2 p_{z}$ плоскость $z = 0$ — узел. У 1s величина $| ψ |^{2}$ наибольшая в ядре, но $P (r) = 4 π r^{2} | ψ |^{2}$ — поскольку объём оболочки растёт как $r^{2}$ — максимальна при $r = a_{0}$ . Заглянуть внутрь облака можно с помощью «половинного разреза».

Центральное поле и радиальное уравнение

Кулоновское поле ядра центрально-симметрично — потенциал зависит только от $r$ . Поэтому уравнение Шрёдингера разделяется по переменным: $ψ = R_{n l} (r) Y_{l m} (θ, φ)$ . Радиальная часть подчиняется одномерному уравнению, в котором появляется эффективный потенциал: $V_{e f} = - \frac{e^{2}}{4 π ε_{0} r} + \frac{ℏ^{2} l (l + 1)}{2 m r^{2}}$ . Второе слагаемое — «центробежный барьер»: при $l > 0$ электрона вблизи ядра почти нет ( $R \propto r^{l}$ ), а s-орбитали могут находиться и в ядре. Конечные решения существуют только при $E_{n} = - 13,6 / n^{2}$ эВ; на одном уровне $n$ у $n^{2}$ орбиталей одинаковая энергия — вырождение (со спином $2 n^{2}$ ). Чтобы полностью оторвать электрон от основного состояния — ионизация — нужно 13,6 эВ, с уровня $n$ — $13,6 / n^{2}$ эВ. У водородоподобных ионов (He⁺, Li²⁺) $E_{n} = - 13,6 Z^{2} / n^{2}$ эВ, облако в $Z$ раз меньше (серия Пикеринга — в эксперименте «Строение атома и спектры»). Ядро тоже движется: вместо массы электрона берётся приведённая масса $μ = m_{e} M / (m_{e} + M)$ — поэтому линии дейтерия короче водородных примерно на 0,03 %; Г. Юри в конце 1931 года открыл дейтерий именно по этому сдвигу.

Момент импульса и магнитный момент

$l$ и $m$ — собственные значения операторов момента импульса: ${\hat{L}}^{2} Y_{l m} = l (l + 1) ℏ^{2} Y_{l m}$ , ${\hat{L}}_{z} Y_{l m} = m ℏ Y_{l m}$ ; сферические функции $Y_{l m}$ — собственные функции этих операторов. Поэтому $| L | = \sqrt{l (l + 1)} ℏ$ — при $l > 0$ это никогда не равно $l ℏ$ : направление вектора не может быть определено полностью. В комплексном состоянии с $m \neq 0$ поток вероятности вращается вокруг оси $z$ — это ток внутри атома — и он создаёт магнитный момент: $μ_{z} = - m μ_{B}$ , $μ_{B} = e ℏ / 2 m_{e} = 9,27 \cdot 10^{- 24}$ Дж/Тл (магнетон Бора); орбитальное гиромагнитное отношение $μ / L = e / 2 m_{e}$ . Вещественные орбитали на сцене, такие как $p_{x}$ , $d_{x y}$ , — линейные комбинации (сумма или разность) состояний $+ m$ и $- m$ : кругового тока в них нет, при измерении $L_{z}$ с равной вероятностью получается $+ | m | ℏ$ или $- | m | ℏ$ , а $L^{2}$ определён точно. Спин электрона, полный момент и тонкая структура (формула Дирака, лэмбовский сдвиг) — в эксперименте «Спин, эффект Зеемана и МРТ».

Суперпозиция и модель

Если сложить два состояния, $| ψ |^{2}$ колеблется с частотой $ν = Δ E / h$ : облако «плещется» и, как антенна, излучает фотон $λ = h c / Δ E$ (1s + 2p: 121,6 нм, Лайман-α; 2p + 3d: 656 нм, красная Hα). У 2s + 2p энергии равны — облако не колеблется (sp-гибрид). Модель: масса протона принята бесконечной ( $E_{1} = - 13,6057$ эВ), спин и тонкая структура не учитываются. Точки выбираются точно из $| ψ |^{2}$ (радиус — обратным распределением, направление — методом отбраковки). Время замедлено в $5 \cdot 10^{15}$ раз.

Знаете ли вы?

Эрвин Шрёдингер опубликовал своё волновое уравнение в 1926 году и уже в первой статье применил его к атому водорода, заново получив энергетические уровни модели Бора.
Радиус Бора $a_{0} \approx 0,529$ Å $= 0,0529$ нм — наиболее вероятное расстояние электрона в основном состоянии атома водорода.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Физика полупроводников — 9 класс
Фотоэффект — 11 класс
Строение атома и спектры — 11 класс
Радиоактивность, период полураспада — 11 класс
Ядерные реакции — 11 класс
Тепловое излучение и Планк — 11 класс
Импульс фотона и эффект Комптона — 11 класс
Волны де Бройля — 11 класс
Опыт Резерфорда — 11 класс
Атомное ядро и энергия связи — 11 класс