Физика · Атомная и квантовая физика · 11 класс

Атомное ядро и энергия связи

Почему Солнце получает энергию, соединяя лёгкие ядра, а АЭС — расщепляя тяжёлый уран?

Ситуация

Солнце получает энергию, соединяя ядра водорода, а атомная электростанция — разделяя ядра урана. Одно соединяет, другое делит — и оба выделяют энергию. Секрет в «массовом счёте» ядра: ядро легче составляющих его протонов и нейтронов. У каких ядер эта недостающая масса — дефект массы — наибольшая и почему синтез внутри звёзд останавливается около железа?

Тема

Атомное ядро и энергия связи. Протоны и нейтроны: дефект массы и самое устойчивое ядро — железо

Ключевые понятия

Дефект массы
Удельная энергия связи
Ядерные силы

Формулы

A = Z + N, R = r_{0} A^{1 / 3}, r_{0} \approx 1,2 fm

Массовое число (барионный заряд) и радиус ядра: объём пропорционален $A$ — плотность почти постоянна.

Δ m = Z m_{p} + N m_{n} - M_{y a}, E_{b} = Δ m c^{2}

Дефект массы и энергия связи; $1 а. е. м. \cdot c^{2} = 931,5$ МэВ.

E_{b} = a_{V} A - a_{S} A^{2 / 3} - a_{C} \frac{Z (Z - 1)}{A^{1 / 3}} - a_{A} \frac{{(N - Z)}^{2}}{A} \pm δ

Формула Вайцзеккера (капельная модель): объёмное, поверхностное, кулоновское, асимметричное слагаемые и слагаемое спаривания.

V (r) = - g^{2} \frac{e^{- r / a}}{r}, a = \frac{ℏ}{m_{π} c} \approx 1,4 fm

Потенциал Юкавы: ядерная сила переносится обменом массивной частицей — пионом.

E_{J} = \frac{ℏ^{2}}{2 I} J (J + 1)

Вращательные уровни деформированного ядра (коллективная модель).

Теория

Состав и размер ядра

Ядро состоит из протонов ( $Z$ — зарядовое число) и нейтронов ( $N$ ), вместе они — нуклоны; $A = Z + N$ — массовое число (барионный заряд). Ядра с одинаковым $Z$ — изотопы, с одинаковым $A$ — изобары, с одинаковым $N$ — изотоны; пары, у которых $Z$ и $N$ поменялись местами (³H–³He), — зеркальные ядра; долгоживущее ядро в возбуждённом состоянии — изомер. Радиус $R = r_{0} A^{1 / 3}$ : объём пропорционален числу нуклонов, плотность ≈ 0,14 нуклон/фм³ ≈ 2·10¹⁷ кг/м³. Заряд измеряют по рассеянию Резерфорда и закону Мозли, массу — на масс-спектрометре, радиус — по рассеянию быстрых электронов (Хофштадтер) и по разности кулоновских энергий зеркальных ядер. Спин нуклона ½; у чётно-чётных ядер спин 0; ядра с нечётным $A$ — фермионы, с чётным $A$ — бозоны. Магнитный момент измеряют в ядерных магнетонах, электрический квадрупольный момент показывает, насколько форма ядра отличается от сферы.

Дефект массы и энергия связи

Чтобы разделить ядро на отдельные нуклоны, нужна энергия связи $E_{b} = Δ m c^{2}$ . У ⁴He: $Δ m = 0,0304$ а. е. м., то есть 28,3 МэВ — 7,07 МэВ на нуклон. Высота столбца на карте — удельная энергия связи $E_{b} / A$ . У лёгких ядер она резко растёт, около ⁵⁶Fe–⁶²Ni достигает максимума ≈ 8,8 МэВ и до урана медленно спадает до 7,6 МэВ. Слияние лёгких ядер (синтез) и деление тяжёлых — в обоих случаях продукт приближается к максимуму, а разность выделяется как энергия. Модель: для ядер, у которых на карте нет измеренных значений, использована формула Вайцзеккера.

Капельная модель (формула Вайцзеккера)

Ядро подобно заряженной капле жидкости. Объёмное слагаемое $a_{V} A$ : каждый нуклон притягивается только к соседям (насыщение ядерных сил). Поверхностное слагаемое: у нуклонов на поверхности меньше соседей. Кулоновское слагаемое: протоны отталкиваются — поэтому в тяжёлых ядрах нейтронов больше, и долина стабильности изгибается в сторону $N > Z$ . Слагаемое асимметрии (принцип Паули) предпочитает $N = Z$ , слагаемое спаривания укрепляет чётно-чётные ядра. Здесь $a_{V} = 15,8$ ; $a_{S} = 18,3$ ; $a_{C} = 0,714$ ; $a_{A} = 23,2$ ; $δ = 12 / \sqrt{A}$ МэВ. Формула для тяжёлых ядер работает с точностью 1 %, но для ⁴He даёт 22 МэВ (измерено 28,3) — проявляются оболочечные эффекты.

Ядерные силы, дейтрон и изоспин

Ядерная сила короткодействующая (≈ 1–2 фм), очень сильная, а ближе ≈ 0,8 фм — отталкивающая (кор). Она не зависит от заряда: в одинаковом состоянии силы pp, nn и np равны (изотопическая инвариантность). Поэтому протон и нейтрон — два состояния одного нуклона: изоспин $T = ½$ , $T_{3} = + ½$ (p) и $- ½$ (n). Сила зависит от спина: пара np связывается только при параллельных спинах — дейтрон ( $E_{b} = 2,22$ МэВ, размер ≈ 2 фм, нуклоны большую часть времени проводят вне радиуса действия сил). Обобщённый принцип Паули: волновая функция антисимметрична относительно обмена пространством·спином·изоспином, поэтому в s-состоянии спины двух одинаковых нуклонов обязательно противоположны — дипротон и динейтрон не связываются. Силу изучают на рассеянии np при низких энергиях. На сцене использован феноменологический потенциал Малфлита–Тьона.

Мезонная теория

Юкава (1935) объяснил ядерную силу обменом массивной частицей: по соотношению неопределённостей частица массы $m$ «в долг» живёт время $Δ t \approx ℏ / (m c^{2})$ и достигает расстояния ≈ $ℏ / (m c)$ . Для радиуса 1,4 фм нужно $m c^{2} \approx 140$ МэВ. Такая частица — пион — была открыта в космических лучах в 1947 году ( $m_{π^{\pm}} c^{2} = 139,6$ МэВ). Обмен заряженным пионом превращает протон в нейтрон и наоборот — на сцене цвет нуклонов меняется.

Модели ядра и γ-излучение

Оболочечная модель: нуклоны заполняют уровни в общем потенциале; спин-орбитальное взаимодействие порождает магические числа 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 (Майер и Йенсен, 1949). Дважды магические ¹⁶O, ⁴⁰Ca, ²⁰⁸Pb особенно прочны; спин нечётного ядра определяется уровнем последнего неспаренного нуклона. Модель ферми-газа: нуклоны — свободные фермионы в яме глубиной ≈ 45 МэВ, энергия Ферми ≈ 38 МэВ. Коллективная модель: вытянутое ядро вращается, уровни подчиняются закону $J (J + 1)$ . Возбуждённое ядро спускается, испуская γ-квант (правило отбора: во вращательной полосе $Δ J = 2$ , E2-переходы), а иногда отдаёт энергию атомному электрону (внутренняя конверсия). Долгоживущие возбуждённые состояния — изомеры: в медицине ⁹⁹ᵐTc (140,5 кэВ, $T_{1 / 2} \approx 6$ ч). Испускание и поглощение γ-кванта ядром в твёрдом кристалле без отдачи — эффект Мёссбауэра (⁵⁷Fe, 14,4 кэВ). Радиоактивный распад — в эксперименте «Радиоактивность».

Знаете ли вы?

Плотность ядерного вещества около 2·10¹⁷ кг/м³: одна чайная ложка (5 см³) ядерного вещества имела бы массу около миллиарда тонн.
Наибольшая энергия связи на нуклон — не у железа-56, а у никеля-62 (8,795 МэВ). Но при взрывах звёзд образуется много никеля-56, который через кобальт-56 распадается в железо-56, — поэтому во Вселенной так много железа.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Орбитали атома водорода — 11 класс
Тепловое излучение и Планк — 11 класс
Импульс фотона и эффект Комптона — 11 класс
Волны де Бройля — 11 класс
Опыт Резерфорда — 11 класс
Термоядерный синтез — 11 класс
Регистрация частиц — 11 класс
Элементарные частицы — 11 класс
Спин, эффект Зеемана и МРТ — 1 курс
Многоэлектронные атомы — 1 курс