Физика · Атомная и квантовая физика · 3 курс

Шрёдингер и туннельный эффект

Как электрон проходит сквозь барьер выше своей энергии и как СТМ «видит» атомы?

Ситуация

Ваш смартфон хранит фотографии во флеш-памяти. При каждой записи электроны «просачиваются» через изолирующий слой толщиной около 10 нм — в классической физике так быть не может, ведь энергия электрона ниже барьера. Благодаря этому же явлению сканирующий туннельный микроскоп «видит» отдельные атомы: ток между кончиком иглы и поверхностью очень чувствителен к расстоянию. Как частица проходит сквозь барьер выше её энергии и почему расстояние 0,1 нм изменяет ток в 10 раз?

Тема

Уравнение Шрёдингера, туннельный эффект. Туннельный микроскоп: «видим» атомы

Ключевые понятия

Уравнение Шрёдингера
Туннельный эффект
Туннельный микроскоп

Формулы

i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V (x) ψ

Временное уравнение Шрёдингера; $| ψ |^{2}$ — плотность вероятности обнаружить электрон.

κ = \frac{\sqrt{2 m (V_{0} - E)}}{ℏ}, ψ \propto e^{- κ x}

Внутри барьера волновая функция не колеблется, а экспоненциально затухает.

T = {[1 + \frac{V_{0}^{2} \sinh^{2} (κ a)}{4 E (V_{0} - E)}]}^{- 1} \approx \frac{16 E (V_{0} - E)}{V_{0}^{2}} e^{- 2 κ a}

Вероятность прохождения через прямоугольный барьер ( $E < V_{0}$ , $a$ — ширина барьера).

I \propto e^{- 2 κ d}, κ = \frac{\sqrt{2 m φ}}{ℏ} \approx 11 {nm}^{- 1}

Ток туннельного микроскопа: $d$ — расстояние между иглой и поверхностью, $φ$ — работа выхода (≈ 4–5 эВ).

Δ d = \frac{\ln 10}{2 κ}

Изменение расстояния, уменьшающее ток в 10 раз.

Теория

Волновой пакет

В квантовой механике электрон описывается волновой функцией $ψ (x, t)$ . Она комплексная: высота края закрученной ленты на сцене — это $Re ψ$ , глубина — $Im ψ$ . Оранжевая область на заднем экране — $| ψ |^{2}$ , вероятность обнаружить электрон в этом месте. Шаг витка ленты — длина волны де Бройля $λ = h / p$ : если увеличить энергию, витки сгущаются.

Что происходит внутри барьера?

Классическая частица при $E < V_{0}$ обязательно отражается от барьера. Волна же проникает внутрь барьера и там затухает по закону $e^{- κ x}$ . Если барьер тонкий, по ту сторону остаётся малая, но не равная нулю волна — это туннельный эффект. Пакет делится на две части: одна отражается ( $R$ ), другая проходит ( $T$ ), $T + R = 1$ . $T$ экспоненциально зависит от ширины барьера: если ширину увеличить вдвое, $T$ уменьшится примерно до своего квадрата (1 % → 0,01 %). При $E > V_{0}$ тоже есть отражение — в классической физике и это невозможно.

Стационарные состояния, коэффициенты прохождения и отражения

Если потенциал не зависит от времени, уравнение имеет решения вида $ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t / ℏ}$ — стационарные состояния: в них $| ψ |^{2}$ не меняется со временем, а $φ$ удовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера: $- \frac{ℏ^{2}}{2 m} φ^{''} + V φ = E φ$ . Слева от барьера $φ = e^{i k x} + r e^{- i k x}$ (падающая и отражённая волны), внутри $e^{\pm κ x}$ , справа только $t e^{i k x}$ . Условие непрерывности $φ$ и $φ^{'}$ на границах определяет $r$ и $t$ , то есть даёт формулу T(E). Через плотность потока вероятности $j = \frac{ℏ}{m} Im (φ^{*} φ^{'})$ коэффициент прохождения равен $T = j_{пр} / j_{пад} = | t |^{2}$ , коэффициент отражения — $R = | r |^{2}$ , $T + R = 1$ . Волновой пакет на сцене — сумма стационарных состояний с разными $E$ ; поэтому он движется, а измеренное $T$ — среднее значение $T (E)$ по спектру пакета.

Туннельный микроскоп

Один атом на кончике иглы находится на расстоянии 0,3–1 нм от поверхности. Вакуум между ними — барьер высотой $φ$ (работа выхода). При малом напряжении ток $I \propto e^{- 2 κ d}$ : для $φ \approx 4,6$ эВ получаем $κ \approx 11 {нм}^{- 1}$ , то есть приближение на 0,1 нм увеличивает ток примерно в 9 раз. Система обратной связи поддерживает ток постоянным, двигая иглу вверх и вниз: игла «скользит» над атомами, и по её высоте строится изображение поверхности (режим постоянного тока).

Альфа-распад и автоэлектронная эмиссия

Г. Гамов (1928) объяснил α-распад туннельным эффектом. α-частица удерживается внутри ядра ( $r < R \approx 9$ фм) ядерными силами, снаружи её окружает кулоновский барьер высотой ≈ 25–28 МэВ, а её собственная энергия всего 4–9 МэВ. Частица ударяется о барьер ≈ 10²¹ раз в секунду и каждый раз проходит с вероятностью $e^{- G}$ ; $G$ очень чувствительна к энергии, поэтому при различии энергий примерно в 2 раза период полураспада меняется от микросекунд до миллиардов лет — это закон Гейгера–Неттола ( $\lg T_{1 / 2}$ почти линейно зависит от $Q^{- 1 / 2}$ ). Посчитайте для реальных ядер в разделе «Альфа-распад (теория Гамова)». Автоэлектронная (холодная) эмиссия: если к поверхности металла приложить поле $10^{9}$ – $10^{10}$ В/м, барьер работы выхода превращается в тонкий «треугольник», и электроны выходят из неразогретого металла путём туннелирования. Плотность тока даётся формулой Фаулера–Нордгейма: $j \propto E^{2} e^{- b φ^{3 / 2} / E}$ — она экспоненциально чувствительна к полю. На этом явлении работают автоэмиссионные катоды электронных микроскопов и процессы записи и стирания во флеш-памяти.

О модели

Одномерное уравнение Шрёдингера для электрона решается на отрезке $x \in [- 40; 40]$ нм на сетке $Δ x = 0,01$ нм методом Кранка–Николсона ( $Δ t = 0,04$ фс); на краях есть слой, поглощающий волну. Измеренное $T$ — вероятность, поглощённая правее барьера и на правом краю. Энергия пакета немного «размыта» ( $σ_{E} \propto 1 / σ$ ), поэтому $T$ может отличаться от $T (E_{0})$ по формуле — если сделать пакет шире, разница уменьшится. Время замедлено в $10^{14}$ раз (1 с = 10 фс). Ток СТМ: $I = A e^{- 2 κ d}$ , $A$ подобрана так, чтобы для графита при 0,5 нм получался 1 нА; рельеф поверхности приблизительный.

Знаете ли вы?

Сканирующий туннельный микроскоп создали Герд Бинниг и Генрих Рорер в лаборатории IBM; в 1986 году они получили Нобелевскую премию по физике.
В эксперименте, опубликованном в 1990 году, учёные IBM с помощью иглы СТМ выложили на поверхности никеля 35 атомов ксенона в виде надписи «IBM».

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Регистрация частиц — 11 класс
Элементарные частицы — 11 класс
Спин, эффект Зеемана и МРТ — 1 курс
Многоэлектронные атомы — 1 курс
Зоны в твёрдых телах — 1 курс
Квантовые точки и потенциальная яма — 3 курс
Молекула: связь и спектр — 3 курс
Сверхпроводимость — 3 курс