Fizika · Atom va kvant fizikasi · 3-kurs

Shryodinger va tunnel effekti

Elektron o‘zidan baland to‘siqdan qanday o‘tadi va STM atomlarni qanday “ko‘radi”?

Vaziyat

Smartfoningiz fotosuratlarni flesh-xotirada saqlaydi. Har gal yozishda elektronlar taxminan 10 nm qalinlikdagi izolyator qatlamdan “sizib” o‘tadi — klassik fizikada bunday bo‘lishi mumkin emas, chunki elektronning energiyasi to‘siqdan past. Xuddi shu hodisa tufayli skanerlovchi tunnel mikroskopi alohida atomlarni “ko‘radi”: igna uchi va sirt orasidan oqayotgan tok masofaga juda sezgir. Qanday qilib zarra o‘zidan baland to‘siqdan o‘tadi va nega 0,1 nm masofa tokni 10 marta o‘zgartiradi?

Mavzu

Shredinger tenglamasi, tunnel effekti. Tunnel mikroskopi: atomlarni “ko‘rish”

Asosiy tushunchalar

Shryodinger tenglamasi
Tunnel effekti
Tunnel mikroskopi

Formulalar

i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V (x) ψ

Vaqtga bog‘liq Shryodinger tenglamasi; $| ψ |^{2}$ — elektronni topish ehtimolligi zichligi.

κ = \frac{\sqrt{2 m (V_{0} - E)}}{ℏ}, ψ \propto e^{- κ x}

To‘siq ichida to‘lqin funksiyasi tebranmaydi, eksponensial so‘nadi.

T = {[1 + \frac{V_{0}^{2} \sinh^{2} (κ a)}{4 E (V_{0} - E)}]}^{- 1} \approx \frac{16 E (V_{0} - E)}{V_{0}^{2}} e^{- 2 κ a}

To‘g‘ri burchakli to‘siqdan o‘tish ehtimolligi ( $E < V_{0}$ , $a$ — to‘siq kengligi).

I \propto e^{- 2 κ d}, κ = \frac{\sqrt{2 m φ}}{ℏ} \approx 11 {nm}^{- 1}

Tunnel mikroskopi toki: $d$ — igna va sirt orasidagi masofa, $φ$ — chiqish ishi (≈ 4–5 eV).

Δ d = \frac{\ln 10}{2 κ}

Tokni 10 marta kamaytiradigan masofa o‘zgarishi.

Nazariya

To‘lqin paketi

Kvant mexanikasida elektron to‘lqin funksiyasi $ψ (x, t)$ bilan tasvirlanadi. U kompleks son: sahnadagi buralgan lenta chetining balandligi — $Re ψ$ , chuqurligi — $Im ψ$ . Orqa ekrandagi to‘q sariq soha $| ψ |^{2}$ — elektronni shu joyda topish ehtimolligi. Lentaning burilish qadami de Broyl to‘lqin uzunligi $λ = h / p$ : energiyani oshirsangiz, buralish zichlashadi.

To‘siq ichida nima bo‘ladi?

Klassik zarra $E < V_{0}$ bo‘lsa, to‘siqdan albatta qaytadi. To‘lqin esa to‘siq ichiga kiradi va u yerda $e^{- κ x}$ bo‘yicha so‘nadi. To‘siq yupqa bo‘lsa, narigi tomonda kichik, lekin noldan farqli to‘lqin qoladi — bu tunnel effekti. Paket ikkiga bo‘linadi: bir qismi qaytadi ( $R$ ), bir qismi o‘tadi ( $T$ ), $T + R = 1$ . $T$ to‘siq kengligiga eksponensial bog‘liq: kenglikni 2 marta oshirsangiz, $T$ taxminan o‘z kvadratigacha kamayadi (1 % → 0,01 %). $E > V_{0}$ da ham qaytish bo‘ladi — klassik fizikada bu ham mumkin emas.

Statsionar holatlar, o‘tish va qaytish koeffitsientlari

Potensial vaqtga bog‘liq bo‘lmasa, tenglama $ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t / ℏ}$ ko‘rinishdagi yechimlarga ega — statsionar holatlar: ularda $| ψ |^{2}$ vaqt o‘tishi bilan o‘zgarmaydi, $φ$ esa statsionar Shryodinger tenglamasini qanoatlantiradi: $- \frac{ℏ^{2}}{2 m} φ^{''} + V φ = E φ$ . To‘siqdan chapda $φ = e^{i k x} + r e^{- i k x}$ (tushayotgan va qaytgan to‘lqin), ichida $e^{\pm κ x}$ , o‘ngda faqat $t e^{i k x}$ . Chegaralarda $φ$ va $φ^{'}$ uzluksiz bo‘lishi sharti $r$ va $t$ ni, ya’ni T(E) formulasini beradi. Ehtimollik oqimi $j = \frac{ℏ}{m} Im (φ^{*} φ^{'})$ orqali o‘tish koeffitsienti $T = j_{o ‘ t} / j_{t u s h} = | t |^{2}$ , qaytish koeffitsienti $R = | r |^{2}$ , $T + R = 1$ . Sahnadagi to‘lqin paketi — turli $E$ li statsionar holatlarning yig‘indisi; shuning uchun u harakatlanadi va o‘lchangan $T$ — $T (E)$ ning paket spektri bo‘yicha o‘rtachasi.

Tunnel mikroskopi

Igna uchidagi bitta atom sirtdan 0,3–1 nm uzoqlikda turadi. Ular orasidagi vakuum — balandligi $φ$ (chiqish ishi) bo‘lgan to‘siq. Kichik kuchlanishda tok $I \propto e^{- 2 κ d}$ : $φ \approx 4,6$ eV uchun $κ \approx 11 {nm}^{- 1}$ , ya’ni 0,1 nm yaqinlashish tokni ≈ 9 marta oshiradi. Qayta aloqa tizimi tokni o‘zgarmas ushlab, ignani yuqoriga-pastga suradi: igna atomlar ustidan “sirpanadi” va uning balandligidan sirt tasviri chiziladi (doimiy tok rejimi).

Alfa-yemirilish va avtoelektron emissiya

G. Gamov (1928) α-yemirilishni tunnel effekti deb tushuntirgan. α-zarra yadro ichida ( $r < R \approx 9$ fm) yadro kuchlari bilan ushlanadi, tashqarida uni balandligi ≈ 25–28 MeV bo‘lgan Kulon to‘sig‘i o‘rab turadi, uning o‘z energiyasi esa atigi 4–9 MeV. Zarra to‘siqqa sekundiga ≈ 10²¹ marta uriladi va har safar $e^{- G}$ ehtimol bilan o‘tadi; $G$ energiyaga juda sezgir, shuning uchun energiya ≈ 2 marta farq qilsa, yarim yemirilish davri mikrosekunddan milliard yillargacha o‘zgaradi — Geyger–Nettol qonuni ( $\lg T_{1 / 2}$ deyarli $Q^{- 1 / 2}$ ga chiziqli bog‘liq). “Alfa-yemirilish (Gamov nazariyasi)” bo‘limida haqiqiy yadrolar uchun hisoblang. Avtoelektron (sovuq) emissiya: metall sirtiga $10^{9}$ – $10^{10}$ V/m maydon berilsa, chiqish ishi to‘sig‘i yupqa “uchburchak”ka aylanadi va elektronlar qizdirilmagan metalldan tunnel orqali chiqadi. Tok zichligi Fauler–Nordgeym formulasi bilan beriladi: $j \propto E^{2} e^{- b φ^{3 / 2} / E}$ — maydonga eksponensial sezgir. Bu hodisada elektron mikroskoplarning avtoemission katodlari va flesh-xotiraning yozish-o‘chirish jarayoni ishlaydi.

Model haqida

Bir o‘lchamli Shryodinger tenglamasi elektron uchun $x \in [- 40; 40]$ nm oraliqda, $Δ x = 0,01$ nm to‘rda, Krank–Nikolson usulida ( $Δ t = 0,04$ fs) yechiladi; chetlarda to‘lqinni yutuvchi qatlam bor. O‘lchangan $T$ — to‘siqdan o‘ngdagi va o‘ng chetda yutilgan ehtimollik. Paketning energiyasi biroz “yoyilgan” ( $σ_{E} \propto 1 / σ$ ), shuning uchun $T$ formuladagi $T (E_{0})$ dan farq qilishi mumkin — paketni kengaytirsangiz, farq kamayadi. Vaqt $10^{14}$ marta sekinlashtirilgan (1 s = 10 fs). STM toki: $I = A e^{- 2 κ d}$ , $A$ grafit uchun 0,5 nm da 1 nA beradigan qilib tanlangan; sirt gofrirovkasi taxminiy.

Bilasizmi?

Skanerlovchi tunnel mikroskopini Gerd Binnig va Heinrich Rohrer IBM laboratoriyasida yaratgan; ular 1986-yilda fizika bo‘yicha Nobel mukofotiga sazovor bo‘lgan.
1990-yilda e’lon qilingan tajribada IBM olimlari STM ignasi yordamida 35 ta ksenon atomini nikel sirtiga joylab, “IBM” yozuvini hosil qilishgan.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Zarralarni qayd qilish — 11-sinf
Elementar zarralar — 11-sinf
Spin, Zeeman effekti va MRT — 1-kurs
Ko‘p elektronli atomlar — 1-kurs
Qattiq jismlarda zonalar — 1-kurs
Kvant nuqtalar va potensial o‘ra — 3-kurs
Molekula: bog‘lanish va spektr — 3-kurs
O‘ta o‘tkazuvchanlik — 3-kurs