Fizika · Atom va kvant fizikasi · 1-kurs

Qattiq jismlarda zonalar

Nega mis tok o‘tkazadi, olmos esa yo‘q: ruxsat etilgan va taqiqlangan zonalar

Vaziyat

Uydagi elektr simlari misdan, telefon protsessori kremniy plastinkadan yasalgan, zargarlik do‘konidagi olmos esa tokni deyarli umuman o‘tkazmaydi. Uchala modda ham atomlardan tuzilgan va har bir atomda elektronlar bor. Mis sim har qanday haroratda tokni yaxshi o‘tkazadi, kremniy qizdirilsa yoki yoritilsa, tokni birdan yaxshiroq o‘tkaza boshlaydi, olmos esa ko‘zga shaffof izolyator bo‘lib qolaveradi. Kristalldagi elektron qanday energiyalarga ega bo‘la oladi va nega ba’zi moddalarda u tok tashiy olmaydi?

Mavzu

Qattiq jismlarning zona nazariyasi. Nega mis tok o‘tkazadi, olmos esa yo‘q: ruxsat etilgan va taqiqlangan zonalar

Asosiy tushunchalar

Blox teoremasi
Taqiqlangan zona
Fermi sathi

Formulalar

ψ_{k} (x) = u_{k} (x) e^{i k x}, u_{k} (x + d) = u_{k} (x)

Blox teoremasi: davriy potensialdagi elektron — panjara davri $d$ bilan takrorlanuvchi funksiyaga ko‘paytirilgan yassi to‘lqin.

\cos k d = \cos α a \cosh β b + \frac{β^{2} - α^{2}}{2 α β} \sin α a \sinh β b

Kronig–Penni tenglamasi ( $ℏ α = \sqrt{2 m E}$ , $ℏ β = \sqrt{2 m (V_{0} - E)}$ , $d = a + b$ ): o‘ng tomoni moduli 1 dan katta bo‘lgan energiyalar — taqiqlangan zonalar.

v = \frac{1}{ℏ} \frac{d E}{d k}, \frac{1}{m^{*}} = \frac{1}{ℏ^{2}} \frac{d^{2} E}{d k^{2}}, ℏ \frac{d k}{d t} = - e ℰ

Guruh tezligi, effektiv massa va tashqi elektr maydon $ℰ$ dagi harakat tenglamasi.

n_{i} = \sqrt{N_{c} N_{v}} e^{- E_{g} / 2 k T}, E_{c} - E_{F} = k T \ln \frac{N_{c}}{n}

Xususiy zaryad tashuvchilar konsentratsiyasi va n-tip yarimo‘tkazgichda Fermi sathining holati.

E_{F} = \frac{ℏ^{2}}{2 m} {(3 π^{2} n)}^{2 / 3}, C_{e l} = \frac{π^{2}}{2} n k \frac{k T}{E_{F}} = γ T

Erkin elektron gazning Fermi energiyasi va elektron issiqlik sig‘imi (Zommerfeld modeli).

Nazariya

Sathlardan zonalarga

Yakka atomda elektron energiyasi aniq sathlardan iborat. Ikki atom yaqinlashsa, elektron bir atomdan ikkinchisiga tunnel orqali o‘ta oladi va har bir sath ikkiga ajraladi; $N$ ta atom har bir sathdan $N$ ta yaqin sath hosil qiladi (har birida Pauli prinsipi bo‘yicha 2 tagacha elektron). Kristallda $N \sim 10^{23}$ — sathlar deyarli uzluksiz ruxsat etilgan zonaga qo‘shiladi, zonalar orasida elektron bo‘la olmaydigan taqiqlangan zona qoladi. Zona kengligi qo‘shni atomlar to‘lqin funksiyalarining qoplanishiga bog‘liq: ichki sathlar tor, tashqi sathlar keng zonaga yoyiladi — bu kuchli bog‘langan elektronlar yaqinlashishi. “Sathlar” rejimi — sodda model: $E_{j} = E_{0} + 2 t \cos \frac{j π}{N + 1}$ , $t \propto e^{- a / λ}$ ; sathlar markazining siljishi hisobga olinmagan.

Davriy potensial va Blox teoremasi

Ikkinchi yondashuv — kuchsiz bog‘langan (deyarli erkin) elektronlar: erkin elektronga ( $E = ℏ^{2} k^{2} / 2 m$ ) kuchsiz davriy potensial qo‘shiladi. Blox teoremasi bo‘yicha davriy potensialdagi to‘lqin funksiyasi $ψ = u_{k} (x) e^{i k x}$ — ehtimollik har bir yacheykada takrorlanadi. $k = n π / d$ da (Brillyuen zonasi chegarasi) elektron to‘lqini panjaradan Bregg qaytishiga uchraydi: ikki turg‘un to‘lqin hosil bo‘ladi va energiyada uzilish — taqiqlangan zona ochiladi. Kronig–Penni modelida $V_{0}$ kichik bo‘lsa, $E (k)$ erkin parabolaga yaqin (zonalar keng, oraliqlar tor); $V_{0}$ yoki to‘siq kengligi $b$ katta bo‘lsa, zonalar torayadi va manzara kuchli bog‘langan holatga o‘tadi.

Effektiv massa, kovak va maydondagi harakat

Kristalldagi elektron tezligi $v = \frac{1}{ℏ} \frac{d E}{d k}$ , tashqi kuchga javobi esa effektiv massa $m^{*}$ bilan aniqlanadi: zona tubida $m^{*} > 0$ , zona tepasida $m^{*} < 0$ — u yerda elektron kuchga qarshi tezlanadi. Deyarli to‘lgan zonadagi bo‘sh o‘rinni musbat zaryadli va musbat massali zarra — kovak deb qarash qulay. Maydonda $ℏ d k / d t = - e ℰ$ : $k$ zona bo‘ylab siljiydi, chegaradan o‘tib zonaning narigi chetidan qaytib chiqadi, tezlik esa ishorasini almashtiradi — Blox tebranishi. Oddiy kristallda elektron taxminan $10^{- 14}$ s da sochilib ketadi va tebranish ko‘rinmaydi; uni sun’iy yarimo‘tkazgich o‘ta panjaralarida kuzatish mumkin. Modelda elektron bitta zonada qoladi (zonalararo Zener tunnellanishi hisobga olinmagan).

Metall, dielektrik, yarimo‘tkazgich

Hammasi zonalarning to‘lishiga bog‘liq. Misda yuqori zona qisman to‘lgan: Fermi sathi zona ichida, juda kichik energiya ham elektronni bo‘sh holatga o‘tkaza oladi — metall. To‘lgan valent zona bilan bo‘sh o‘tkazuvchanlik zonasi orasida oraliq $E_{g}$ bo‘lsa: $E_{g}$ bir necha eV — dielektrik (olmos ≈ 5,5 eV), $E_{g} \sim 1$ eV — yarimo‘tkazgich (Si 1,12 eV, Ge 0,66 eV, GaAs 1,42 eV). Yarimo‘tkazgichda issiqlik bir qism elektronlarni yuqori zonaga chiqaradi — xususiy o‘tkazuvchanlik; fosfor (donor) yoki bor (akseptor) qo‘shilsa — aralashmali n- yoki p-tip o‘tkazuvchanlik. Energiyasi $h ν > E_{g}$ bo‘lgan foton elektron–kovak jufti hosil qiladi — fotoo‘tkazuvchanlik; shu sababli olmos ko‘rinadigan nurni yutmaydi (shaffof), kremniy esa yutadi. p- va n-sohalar tutashsa p–n o‘tish hosil bo‘ladi — diod, tranzistor, quyosh elementi va svetodiod asosi (batafsil “Yarimo‘tkazgichlar fizikasi” tajribasida).

Zaryad tashuvchilar statistikasi va Fermi sathi

Elektronlar holatlarni Fermi–Dirak taqsimoti $f (E) = 1 / (e^{(E - E_{F}) / k T} + 1)$ bo‘yicha egallaydi: Fermi sathi $E_{F}$ — to‘lish ehtimoli ½ bo‘lgan energiya. Zonadagi elektronlar taqsimoti = holatlar zichligi $g (E) \propto \sqrt{E - E_{c}}$ × $f (E)$ : grafikda zona chetlaridagi tor “dum”lar (shakli normallangan). Toza yarimo‘tkazgichda $E_{F}$ taqiqlangan zona o‘rtasiga yaqin va $n = p = n_{i}$ ; donorlar $E_{F}$ ni $E_{c}$ ga, akseptorlar $E_{v}$ ga yaqinlashtiradi. Qizdirilganda $n_{i}$ eksponensial o‘sadi va $E_{F}$ yana o‘rtaga qaytadi. Model: barcha aralashmalar ionlangan (past haroratdagi “muzlash” hisobga olinmagan), $E_{g} (T)$ — Varshni formulasi, harakatchanlik $μ \propto T^{- 3 / 2}$ (taxminan), multimetr 1 sm × 1 mm × 1 mm namunani o‘lchaydi.

Erkin elektron gaz: Drude va Zommerfeld

Drude metalldagi elektronlarni klassik gaz deb qaradi (dreyf va Om qonuni — “Metallarda elektr toki” tajribasi). Zommerfeld esa kvant gaz deb qaradi: Pauli prinsipi bo‘yicha $T = 0$ da ham elektronlar $k$ -fazoda radiusi $k_{F}$ bo‘lgan Fermi sferasini to‘ldiradi; uning sirti — Fermi sirti, energiyasi $E_{F}$ (misda 7,0 eV, ya’ni $T_{F} \approx 82 000$ K) — gaz aynigan. Qizdirilganda faqat sirt yaqinidagi $\sim k T / E_{F}$ ulush elektron qo‘zg‘aladi, shu sababli elektron issiqlik sig‘imi kichik: $C = γ T$ . Panjara tebranishlari kvantlari — fononlar (Debay holatlar zichligi $\propto ω^{2}$ ) past haroratda $β T^{3}$ beradi; $C / T$ ni $T^{2}$ ga qarab chizib, $γ$ va $θ_{D}$ topiladi. Spinlar Pauli paramagnetizmi $χ_{P} = μ_{0} μ_{B}^{2} g (E_{F})$ ni, orbital harakat Landau diamagnetizmi $χ_{L} = - χ_{P} / 3$ ni beradi. Oq mitti yulduzlarda elektron gaz relyativistik aynigan: uning bosimi yulduzni taxminan 1,4 Quyosh massasigacha ushlab turadi (Chandrasekar chegarasi).

Bilasizmi?

Feliks Blox kristalldagi elektron haqidagi teoremasini 1928-yilda Leypsig universitetida Verner Geyzenberg rahbarligida yozgan doktorlik dissertatsiyasida isbotlagan.
Kremniy ≈ 1,1 mkm dan uzun infraqizil nurni deyarli yutmaydi, shuning uchun undan 3–5 mkm diapazonidagi infraqizil kameralar uchun linza va oynalar yasaladi — garchi ko‘zga u yaltiroq kulrang noshaffof plastina bo‘lib ko‘rinsa ham.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Termoyadro sintezi — 11-sinf
Zarralarni qayd qilish — 11-sinf
Elementar zarralar — 11-sinf
Spin, Zeeman effekti va MRT — 1-kurs
Ko‘p elektronli atomlar — 1-kurs
Shryodinger va tunnel effekti — 3-kurs
Kvant nuqtalar va potensial o‘ra — 3-kurs
Molekula: bog‘lanish va spektr — 3-kurs
O‘ta o‘tkazuvchanlik — 3-kurs