Fizika · Atom va kvant fizikasi · 3-kurs

Kvant nuqtalar va potensial o‘ra

Nega bir xil moddadan yasalgan kvant nuqtalar o‘lchamiga qarab har xil rangda yonadi?

Vaziyat

Toshkentdagi elektronika do‘konida QLED televizorning ranglari ayniqsa yorqin va tiniq. Ekran ichida diametri bir necha nanometr bo‘lgan yarimo‘tkazgich kristallchalar — kvant nuqtalar bor: ko‘k yorug‘lik tushganda ular yashil yoki qizil nur chiqaradi. Eng qizig‘i, yashil va qizil nuqtalar bir xil moddadan yasalgan bo‘lishi mumkin — farq faqat o‘lchamda. Laboratoriyada ham faqat o‘lchami bilan farq qiladigan CdSe nuqtalar eritmasi solingan probirkalar ultrabinafsha chiroq ostida kamalak ranglarida yonadi. Nega kristall kichraygan sari uning nuri ko‘karadi?

Mavzu

Potensial o‘ra va kvant ossillyator. Kvant nuqtali ekran: qutidagi zarraning energiyasi kvantlanadi

Asosiy tushunchalar

Energiya kvantlanishi
To‘lqin funksiyasi
Nolinchi tebranishlar

Formulalar

\hat{H} ψ = E ψ, \hat{H} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} + V (x)

Statsionar Shryodinger tenglamasi: $\hat{H}$ — Gamilton (energiya) operatori, $E$ — uning xususiy qiymati, $ψ$ — xususiy funksiyasi.

E_{n} = \frac{π^{2} ℏ^{2} n^{2}}{2 m L^{2}} = \frac{n^{2} h^{2}}{8 m L^{2}}, ψ_{n} = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \frac{n π x}{L}

Cheksiz chuqur o‘ra (devorlar $x = 0$ va $x = L$ da). Elektron uchun $L = 1$ nm da $E_{1} = 0,376$ eV.

z \tan z = \sqrt{z_{0}^{2} - z^{2}}, - z \cot z = \sqrt{z_{0}^{2} - z^{2}}, z_{0} = \frac{L}{2} \frac{\sqrt{2 m V_{0}}}{ℏ}

Chekli o‘ra: juft va toq holatlar ( $z = k L / 2$ ). Bog‘langan holatlar soni $N = ⌈ 2 z_{0} / π ⌉$ .

E_{n} = ℏ ω (n + \frac{1}{2}), \hat{H} = ℏ ω ({\hat{a}}^{†} \hat{a} + \frac{1}{2}), {\hat{a}}^{†} | n ⟩ = \sqrt{n + 1} | n + 1 ⟩

Garmonik ossillyator: eng past energiya $ℏ ω / 2$ (nolinchi tebranishlar), $\hat{a}, {\hat{a}}^{†}$ — yo‘qotuvchi va tug‘diruvchi operatorlar.

E \approx E_{g} + \frac{ℏ^{2} π^{2}}{2 R^{2}} (\frac{1}{m_{e}^{*}} + \frac{1}{m_{h}^{*}}) - \frac{1,786 e^{2}}{4 π ε ε_{0} R}

Kvant nuqta (Brus modeli): elektron va kovak radiusi $R$ bo‘lgan sharda qamalgan; oxirgi had — ularning Kulon tortishishi.

Nazariya

To‘lqin funksiyasi va operatorlar

$| ψ (x) |^{2}$ — zarrani $x$ nuqtada topish ehtimollik zichligi, shuning uchun $\int | ψ |^{2} d x = 1$ . Holatlar qo‘shilishi mumkin (superpozitsiya prinsipi). Har bir o‘lchanadigan kattalikka ermit operator mos: $\hat{x} = x$ , $\hat{p} = - i ℏ d / d x$ , $\hat{H} = {\hat{p}}^{2} / 2 m + V$ . Ermit operatorning xususiy qiymatlari haqiqiy, xususiy funksiyalari ortogonal va to‘la to‘plam hosil qiladi — “O‘ra” rejimida $⟨ ψ_{n} | ψ_{n + 1} ⟩ \approx 10^{- 13}$ ko‘rinadi. O‘rtacha qiymat $⟨ A ⟩ = \int ψ^{*} \hat{A} ψ d x$ , tarqoqlik $Δ A^{2} = ⟨ A^{2} ⟩ - {⟨ A ⟩}^{2}$ . $[\hat{x}, \hat{p}] = i ℏ$ bo‘lgani uchun $x$ va $p$ bir vaqtda aniq o‘lchanmaydi: $Δ x Δ p \geq ℏ / 2$ (o‘rada n = 1 uchun ≈ 0,568ħ). Erkin zarra ( $V = 0$ ) uchun $ψ = e^{i k x}$ , $E = ℏ^{2} k^{2} / 2 m$ — spektr uzluksiz; bog‘langan holatlar spektri esa diskret.

Potensial o‘ra

Cheksiz o‘rada devor orasiga butun son yarim to‘lqin sig‘ishi kerak: $L = n λ / 2$ , demak $E_{n} \propto n^{2} / L^{2}$ . O‘rani 2 marta toraytirsangiz, sathlar 4 marta ko‘tariladi — kvant nuqtaning rangi shu sababli o‘zgaradi. Chekli o‘rada $ψ$ devor ichiga $e^{- κ | x |}$ bo‘yicha “sizadi” (klassik taqiqlangan soha; yupqa devor orqali bu tunnel effektiga, alfa-yemirilishga olib keladi — “Tunnel effekti” va “Radioaktivlik” tajribalari), shuning uchun sathlar cheksiz o‘radagidan pastroq va soni chekli. Sathlarni bu yerda son usuli topadi: $\hat{H}$ to‘rda uch diagonalli matritsaga aylanadi, xususiy qiymatlari Shturm ketma-ketligi bilan, funksiyalari teskari iteratsiya bilan izlanadi; natija transsendent tenglama bilan solishtiriladi. Bir holatning o‘zi koordinata ( $ψ (x)$ ), impuls ( $| φ (k) |^{2}$ — $\pm n π / L$ atrofida ikki cho‘qqi ( $n \geq 2$ da)) va energiya ( $c_{n}$ koeffitsiyentlar) tasavvurlarida yoziladi.

Garmonik ossillyator

Parabolik potensialda $E_{n} = ℏ ω (n + \frac{1}{2})$ — sathlar teng oraliqli, eng pastki sath esa nol emas: nolinchi tebranishlar energiyasi $ℏ ω / 2$ . Xususiy funksiyalar — Ermit–Gauss funksiyalari. Algebraik yechim: $[\hat{a}, {\hat{a}}^{†}] = 1$ , ${\hat{a}}^{†}$ sathni bittaga ko‘taradi, $\hat{a}$ tushiradi, $\hat{a} | 0 ⟩ = 0$ . Energiya tasavvurida $\hat{x}$ matritsasining faqat $x_{n, n \pm 1}$ elementlari noldan farqli — shuning uchun garmonik yaqinlashishda HCl molekulasi infraqizil nurni faqat $Δ n = \pm 1$ o‘tishlarda yutadi (tanlash qoidasi). Molekulada massa o‘rniga keltirilgan massa $μ = m_{1} m_{2} / (m_{1} + m_{2})$ olinadi (HCl uchun 0,98 u) — vodorodsimon atomlarda yadro harakati ham shunday hisobga olinadi. Uch o‘lchovli izotrop ossillyatorda $E = ℏ ω (n_{x} + n_{y} + n_{z} + \frac{3}{2})$ ; markaziy-simmetrik maydon, ${\hat{L}}^{2}$ , ${\hat{L}}_{z}$ va vodorodsimon atomlar — “Vodorod atomi orbitallari” tajribasida.

Taqribiy usullar

G‘alayonlanish nazariyasi: $\hat{H} = {\hat{H}}_{0} + \hat{W}$ bo‘lsa, birinchi tartibda $Δ E_{n} = ⟨ n | \hat{W} | n ⟩$ ; ossillyatorga $g ξ^{4}$ qo‘shib, buni aniq son yechim bilan solishtiring — kichik $g$ da yaxshi, kattasida yomonlashadi. Aynigan sathlarda (masalan, kvadrat qutidagi $(1,2)$ va $(2,1)$ holatlar) g‘alayon avval holatlarni to‘g‘ri aralashtirishni talab qiladi va sath ikkiga ajraladi — Shtark effekti shunday (“Spin” tajribasi). Variatsion usul: istalgan sinov funksiyasi uchun $⟨ H ⟩ \geq E_{0}$ — grafikdagi $E (β)$ egri chizig‘i hech qachon aniq $E_{0}$ dan pastga tushmaydi. VKB (kvaziklassik) usul va Bor–Zommerfeld sharti $\oint p d x = (n + \frac{1}{2}) h$ ossillyator uchun aniq, angarmonik potensialda katta $n$ da aniqroq. Vaqtga bog‘liq g‘alayonda o‘tish ehtimolligi $| ⟨ f | \hat{x} | i ⟩ |^{2}$ ga proporsional (Fermi oltin qoidasi) — nurlanish va yutilish shundan (“Lazer” tajribasi).

Vaqt bo‘yicha o‘zgarish

$i ℏ \partial ψ / \partial t = \hat{H} ψ$ . Statsionar holat faqat $e^{- i E t / ℏ}$ faza oladi — $| ψ |^{2}$ o‘zgarmaydi. Ikki holat superpozitsiyasida $| ψ |^{2}$ o‘ra ichida chayqaladi, $⟨ x ⟩$ davri $T = h / (E_{2} - E_{1})$ . Ehtimollik oqimi $j = \frac{ℏ}{m} Im (ψ^{*} \partial_{x} ψ)$ uzluksizlik tenglamasini qanoatlantiradi: $\partial_{t} | ψ |^{2} + \partial_{x} j = 0$ (zarralar soni saqlanadi; panelda $d P_{c h a p} / d t = - j (0)$ ). Evolyutsiya operatori $e^{- i \hat{H} t / ℏ}$ unitar — normasi 1 bo‘lib qoladi. Operator o‘rtacha qiymati $d ⟨ A ⟩ / d t = \frac{i}{ℏ} ⟨ [\hat{H}, \hat{A}] ⟩$ bo‘yicha o‘zgaradi; bundan Erenfest teoremasi: $m d ⟨ x ⟩ / d t = ⟨ p ⟩$ (panelda ikkalasi teng). $\hat{H}$ bilan kommutatsiyalanuvchi kattaliklar (energiya, juftlik) — harakat integrallari. Bu Shryodinger tasavvuri (holat o‘zgaradi); Geyzenberg tasavvurida operatorlar o‘zgaradi, $x_{m n} (t) = x_{m n} e^{i ω_{m n} t}$ ; o‘zaro ta’sir tasavvuri g‘alayonlanish nazariyasida qulay.

Kvant nuqtalar va nanotexnologiya

Nanotexnologiya — o‘lchami 1–100 nm bo‘lgan tuzilmalar, ularning xossalari o‘lchamga bog‘liq. Elektron qamalgan yo‘nalishlar soniga qarab: kvant o‘ra (yupqa qatlam, masalan AlGaAs orasidagi GaAs — lazer diodlarda), kvant ip va kvant nuqta (har tomondan qamalgan, “sun’iy atom”); holatlar zichligi 3D → 0D da uzluksizdan diskret chiziqlarga o‘tadi (ekranda). Brus modeli tendensiyani ( $E \propto 1 / R^{2}$ ) to‘g‘ri beradi, lekin kichik nuqtalarda energiyani oshirib yuboradi: devorlar aslida cheksiz emas, zonalar parabolik emas. Shuning uchun probirkalar rangi o‘lchangan egri (Yu va hamkasblari, 2003, CdSe uchun birinchi yutilish cho‘qqisi) bo‘yicha olingan; lyuminessensiya rangi shu cho‘qqiga yaqin, biroz qizilroq. Bir sathga Pauli prinsipiga ko‘ra spinlari qarama-qarshi ko‘pi bilan ikki elektron sig‘adi (“Spin” va “Ko‘p elektronli atomlar” tajribalari). CdSe parametrlari: $E_{g} = 1,74$ eV, $m_{e}^{*} = 0,13 m_{e}$ , $m_{h}^{*} = 0,45 m_{e}$ , $ε = 10,6$ .

Bilasizmi?

2023-yilgi kimyo bo‘yicha Nobel mukofoti kvant nuqtalarni kashf etgani va sintez qilgani uchun Mungi Bavendi, Lui Brus va Aleksey Yekimovga berilgan. Yekimov 1980-yillar boshida rangli shishadagi mis xlorid nanokristallarida, Brus esa suyuqlikdagi zarralarda rang o‘lchamga bog‘liqligini ko‘rsatgan.
Geliy oddiy bosimda absolyut nolga yaqin haroratda ham suyuq qoladi: uni qotirish uchun taxminan 25 atmosfera bosim kerak. Sababi — yengil atomlarning nolinchi tebranishlar energiyasi katta, ular orasidagi tortishish esa juda zaif.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.