Fizika · Atom va kvant fizikasi · 1-kurs

Spin, Zeeman effekti va MRT

Kumush atomlari dastasi magnitda nega ikkiga bo‘linadi va MRT tanani qanday ko‘radi?

Vaziyat

Klinikada bemorni MRT apparatiga yotqizishadi. Apparat ichidagi magnit maydon 1,5 Tl — Yerning magnit maydonidan o‘n minglab marta kuchli. Tanamizdagi har bir vodorod yadrosi — proton — kichkina magnitga o‘xshaydi, lekin bu “magnitcha” xohlagan tomonga qaray olmaydi: 1922-yilda Otto Shtern va Valter Gerlax kumush atomlari dastasini notekis magnit maydondan o‘tkazishganda, dasta tekis yoyilmasdan aniq ikki bo‘lakka ajralgan. Mikrodunyodagi bu “magnitcha” — spin — nega faqat ikki holatda bo‘ladi va radioto‘lqin yordamida u tananing ichini qanday ko‘rsatadi?

Mavzu

Spin, Zeeman effekti va MRT. Kasalxonadagi MRT apparati va Shtern–Gerlax tajribasi

Asosiy tushunchalar

Spin va Bor magnetoni
Zeeman effekti
Magnit rezonans

Formulalar

μ_{B} = \frac{e ℏ}{2 m_{e}} = 9,274 \cdot 10^{- 24} J/Tl, μ_{z} = - g μ_{B} m

Bor magnetoni — atom magnit momentining “o‘lchov birligi”. Orbital harakat uchun $g_{l} = 1$ , spin uchun $g_{s} \approx 2,0023$ , $m_{s} = \pm \frac{1}{2}$ .

F_{z} = μ_{z} \frac{\partial B}{\partial z}, z = \frac{μ_{B} \frac{\partial B}{\partial z} L (\frac{L}{2} + D)}{m v^{2}}

Shtern–Gerlax: magnit uzunligi $L$ , magnitdan plastinkagacha $D$ , atom massasi $m$ va tezligi $v$ .

Δ E = g_{J} μ_{B} B M_{J}, g_{J} = 1 + \frac{J (J + 1) + S (S + 1) - L (L + 1)}{2 J (J + 1)}

Kuchsiz maydonda sathlar $2 J + 1$ ta pastki sathga ajraladi (Lande faktori $g_{J}$ ). $S = 0$ da $g_{J} = 1$ — oddiy Zeeman effekti.

f_{L} = \frac{γ}{2 π} B_{0} = 42,58 \frac{MHz}{Tl} \cdot B_{0}, α = γ B_{1} τ

Protonlarning Larmor (rezonans) chastotasi va rezonansdagi RF impulsning og‘dirish burchagi.

\hat{𝐒} = \frac{ℏ}{2} 𝝈, σ_{x} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), σ_{y} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}), σ_{z} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

Spin operatori va Pauli matritsalari. $z$ bo‘yicha “+” holatdagi atomni $φ$ burchakka burilgan magnit bilan o‘lchasak, $P (+) = \cos^{2} (φ / 2)$ .

Nazariya

Spin va magnit moment

Yadro atrofida aylanayotgan elektron kichik halqasimon tokdir: uning orbital magnit momenti impuls momentiga proporsional, $𝝁_{l} = - \frac{e}{2 m_{e}} 𝐋$ (giromagnit nisbat $e / 2 m_{e}$ ), birligi — Bor magnetoni $μ_{B} = 9,274 \cdot 10^{- 24}$ J/Tl. 1925-yilda Ulenbek va Gaudsmit elektronning o‘z xususiy impuls momenti — spini $s = \frac{1}{2}$ borligini taklif qilishdi; uning magnit momenti ikki baravar “kuchliroq” ( $g_{s} \approx 2,0023$ ). Spin operatori $\hat{𝐒} = \frac{ℏ}{2} 𝝈$ (Pauli matritsalari), xususiy qiymatlari $\pm \frac{ℏ}{2}$ ; uni hisobga olgan Shryodinger tenglamasi — Pauli tenglamasi (qo‘shimcha had $μ_{B} 𝝈 \cdot 𝐁$ ). Relyativistik Dirak tenglamasi spinni va $g = 2$ ni o‘zi “tug‘diradi” hamda manfiy energiyali yechimlar orqali pozitronni bashorat qilgan; $g_{s}$ ning 2 dan farqi (0,1 %) — kvant elektrodinamikasi tuzatmasi.

Shtern–Gerlax tajribasi

Bir jinsli maydon magnitchani faqat buradi, notekis maydon ( $\partial B / \partial z \neq 0$ ) esa uni tortadi: $F_{z} = μ_{z} \partial B / \partial z$ . Kumush atomida bitta tashqi elektron $l = 0$ holatda, shuning uchun atom magnit momenti — elektron spinidan, $μ_{z} \approx \pm μ_{B}$ . Klassik fizika bo‘yicha momentlar har tomonga qaragan, plastinkada tekis yoyilma bo‘lishi kerak edi (“Klassik” rejimni sinang); tajribada esa ikki dog‘ chiqdi — impuls momenti proyeksiyasi kvantlangan. Dog‘lar “lab” shaklida, chunki gradiyent magnit o‘rtasida eng katta. Atomlar tezligi har xil (pech $T$ ga bog‘liq), shuning uchun dog‘lar yoyiq: $z \propto 1 / v^{2}$ , dastadagi eng ehtimolli tezlik $v_{p} = \sqrt{3 k T / m}$ ; tezlik selektori dog‘larni ixchamlashtiradi.

O‘lchash va Pauli matritsalari

“Ketma-ket” tajribada birinchi magnitdan faqat yuqori (“+”) dasta o‘tkaziladi, ikkinchi magnit esa dasta o‘qi atrofida $φ$ ga burilgan. $φ = 0$ da hamma atom yana “+” ga, $φ = 180 °$ da hammasi “−” ga ketadi, $φ = 90 °$ da esa yarmi u, yarmi bu tomonga: $P (+) = \cos^{2} (φ / 2)$ . Sababi — ${\hat{S}}_{z}$ va ${\hat{S}}_{x}$ kommutatsiyalanmaydi ( $[{\hat{S}}_{x}, {\hat{S}}_{z}] = - i ℏ {\hat{S}}_{y}$ ): ularni bir vaqtda aniq o‘lchab bo‘lmaydi, $x$ bo‘yicha o‘lchash $z$ haqidagi “xotira”ni o‘chiradi. Ikki o‘lchamli holat vektori $(\binom{1}{0})$ va ${\hat{σ}}_{n} = \cos φ σ_{z} + \sin φ σ_{x}$ operatorining xususiy vektorlari orasidagi burchak $φ / 2$ — shu yerdan $\cos^{2} (φ / 2)$ kelib chiqadi.

Zeeman, Pashen–Bak va Shtark effektlari

Zaryadli zarraning maydondagi Gamilton operatori $\hat{H} = {(\hat{𝐩} + e 𝐀)}^{2} / 2 m_{e} + U$ ; bir jinsli $𝐁$ da undan $μ_{B} B ({\hat{L}}_{z} + 2 {\hat{S}}_{z}) / ℏ$ hadi kelib chiqadi, shuning uchun energiya sathi $2 J + 1$ pastki sathga ajraladi: $Δ E = g_{J} μ_{B} B M_{J}$ . Atomning vektor modelida $𝐉 = 𝐋 + 𝐒$ maydon atrofida presessiyalanadi, $𝐋$ va $𝐒$ esa $𝐉$ atrofida; impuls momentlari qo‘shilganda $j = l \pm \frac{1}{2}$ . Spini nolga teng atomda ( $g = 1$ ) chiziq 3 taga bo‘linadi — oddiy Zeeman effekti (kadmiy 643,8 nm). Spin bo‘lsa — murakkab (anomal) effekt: natriy $D_{1}$ 4 ta, $D_{2}$ 6 ta komponentaga ajraladi ( $g = 2, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}$ ). Tanlash qoidalari: $Δ M = 0$ ( $π$ , maydonga parallel qutblangan), $Δ M = \pm 1$ ( $σ$ , maydon bo‘ylab qaralsa doiraviy qutblangan, $π$ ko‘rinmaydi). Maydon nozik struktura oralig‘idan kuchli bo‘lsa, $𝐋$ va $𝐒$ alohida presessiyalanadi va chiziqlar yana uchlikka yig‘iladi — Pashen–Bak effekti (litiyda bir necha Tl, natriyda o‘nlab Tl kerak). Elektr maydonda vodorodning $n = 2$ sathi: $2 s$ va $2 p$ holatlar aynigan, aynigan sathlar uchun g‘alayonlanish nazariyasi $\pm 3 e a_{0} E$ chiziqli Shtark effektini beradi; kuchsiz maydonda (nozik strukturadan kichik) siljish kvadratik.

Nozik struktura, Lemb siljishi va magnit rezonans

Dirak formulasi bo‘yicha vodorod sathi $j$ ga ham bog‘liq: $E_{n j} = - \frac{13,6 eV}{n^{2}} [1 + \frac{α^{2}}{n^{2}} (\frac{n}{j + 1 / 2} - \frac{3}{4})]$ ( $α \approx 1 / 137$ ). $n = 2$ da $2 P_{3 / 2}$ sathi $2 P_{1 / 2}$ dan 10,97 GHz (≈ $4,5 \cdot 10^{- 5}$ eV) yuqori — bu nozik struktura, spektral chiziqlarning multipletligi shundan. Dirak nazariyasida $2 S_{1 / 2}$ va $2 P_{1 / 2}$ bir xil energiyali, tajribada esa $2 S_{1 / 2}$ ≈ 1 058 MHz yuqori — Lemb siljishi (vakuum tebranishlari ta’siri). Magnit maydonda pastki sathlar orasidagi o‘tishni radioto‘lqin uyg‘otadi: elektronlar uchun — elektron paramagnit rezonans (EPR, $f = g μ_{B} B / h \approx 28$ GHz/Tl; X-diapazonda ≈ 9,5 GHz da $B$ ≈ 0,34 Tl), protonlar uchun — YaMR va MRT (42,58 MHz/Tl). RF maydon $B_{1}$ magnitlanish $𝐌$ ni $α = γ B_{1} τ$ burchakka og‘diradi, keyin $𝐌$ $B_{0}$ atrofida aylanib, g‘altakda signal hosil qiladi. To‘qimalar relaksatsiya vaqtlari ( $T_{1}$ , $T_{2}$ ) bilan farq qiladi — MRT tasviridagi kontrast shundan.

Aynan o‘xshash zarralar va Pauli prinsipi

Ikki elektronni bir-biridan ajratib bo‘lmaydi: ularni almashtirsak, $| ψ |^{2}$ o‘zgarmaydi. Shuning uchun to‘lqin funksiyasi yoki simmetrik (butun spinli zarralar — bozonlar: foton, ⁴He), yoki antisimmetrik (yarim butun spinli — fermionlar: elektron, proton, neytron). Antisimmetrik funksiya ikki zarra bir xil holatda bo‘lsa nolga aylanadi — Pauli prinsipi: bitta holatda (barcha kvant sonlari, jumladan $m_{s}$ bir xil) ikki elektron bo‘la olmaydi. Elementlar davriy sistemasi va qobiqlarning to‘ldirilishi shundan kelib chiqadi (batafsil — “Ko‘p elektronli atomlar” tajribasida). Spinlari parallel elektronlarning fazoviy funksiyasi antisimmetrik — ular bir-biridan uzoqroq turadi va Kulon energiyasi kamayadi: bu almashinuv o‘zaro ta’siri. U temirda spinlarni parallel tizib ferromagnetizmni (domenlar, spin to‘lqinlari — magnonlar) beradi; antiferromagnetik va ferrimagnetik tartiblar ham shundan. Metalldagi erkin elektronlar gazida Pauli prinsipi tufayli maydonga faqat Fermi sirti yaqinidagi spinlar buriladi — kuchsiz Pauli paramagnetizmi; orbital harakat esa Landau diamagnetizmini beradi (erkin elektronlarda uning 1/3 qismi). Batafsil — “Moddaning magnit xossalari”da.

Bilasizmi?

Shtern–Gerlax tajribasi 1922-yilda Frankfurtda o‘tkazilgan, elektron spini haqidagi gipotezani esa Ulenbek va Gaudsmit faqat 1925-yilda aytishgan — spin tajribada nazariyadan oldin “ko‘ringan”.
Ko‘pchilik MRT apparatlari 1,5 Tl maydonda ishlaydi, 3 Tl lilari ham keng tarqalgan. Yer sirtidagi magnit maydon taxminan 25–65 mkTl, ya’ni MRT maydoni undan o‘n minglab marta kuchli.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Rezerford tajribasi — 11-sinf
Atom yadrosi va bog‘lanish — 11-sinf
Termoyadro sintezi — 11-sinf
Zarralarni qayd qilish — 11-sinf
Elementar zarralar — 11-sinf
Ko‘p elektronli atomlar — 1-kurs
Qattiq jismlarda zonalar — 1-kurs
Shryodinger va tunnel effekti — 3-kurs
Kvant nuqtalar va potensial o‘ra — 3-kurs
Molekula: bog‘lanish va spektr — 3-kurs