Физика · Атомная и квантовая физика · 1 курс

Зоны в твёрдых телах

Почему медь проводит ток, а алмаз нет: разрешённые и запрещённые зоны

Ситуация

Электропроводка в доме сделана из меди, процессор телефона — из пластинки кремния, а алмаз в ювелирном магазине почти не проводит ток. Все три вещества состоят из атомов, и в каждом атоме есть электроны. Медный провод хорошо проводит ток при любой температуре, кремний при нагревании или освещении вдруг начинает проводить ток заметно лучше, а алмаз остаётся прозрачным для глаза изолятором. Какие энергии может иметь электрон в кристалле и почему в одних веществах он не может переносить ток?

Тема

Зонная теория твёрдых тел. Почему медь проводит ток, а алмаз нет: разрешённые и запрещённые зоны

Ключевые понятия

Теорема Блоха
Запрещённая зона
Уровень Ферми

Формулы

ψ_{k} (x) = u_{k} (x) e^{i k x}, u_{k} (x + d) = u_{k} (x)

Теорема Блоха: электрон в периодическом потенциале — плоская волна, умноженная на функцию, повторяющуюся с периодом решётки $d$ .

\cos k d = \cos α a \cosh β b + \frac{β^{2} - α^{2}}{2 α β} \sin α a \sinh β b

Уравнение Кронига–Пенни ( $ℏ α = \sqrt{2 m E}$ , $ℏ β = \sqrt{2 m (V_{0} - E)}$ , $d = a + b$ ): энергии, при которых модуль правой части больше 1, — запрещённые зоны.

v = \frac{1}{ℏ} \frac{d E}{d k}, \frac{1}{m^{*}} = \frac{1}{ℏ^{2}} \frac{d^{2} E}{d k^{2}}, ℏ \frac{d k}{d t} = - e ℰ

Групповая скорость, эффективная масса и уравнение движения во внешнем электрическом поле $ℰ$ .

n_{i} = \sqrt{N_{c} N_{v}} e^{- E_{g} / 2 k T}, E_{c} - E_{F} = k T \ln \frac{N_{c}}{n}

Концентрация собственных носителей заряда и положение уровня Ферми в полупроводнике n-типа.

E_{F} = \frac{ℏ^{2}}{2 m} {(3 π^{2} n)}^{2 / 3}, C_{e l} = \frac{π^{2}}{2} n k \frac{k T}{E_{F}} = γ T

Энергия Ферми газа свободных электронов и электронная теплоёмкость (модель Зоммерфельда).

Теория

От уровней к зонам

В изолированном атоме энергия электрона состоит из определённых уровней. Если два атома сближаются, электрон может туннелировать от одного атома к другому, и каждый уровень расщепляется надвое; $N$ атомов из каждого уровня образуют $N$ близких уровней (на каждом по принципу Паули — до 2 электронов). В кристалле $N \sim 10^{23}$ — уровни почти непрерывно сливаются в разрешённую зону, а между зонами остаётся запрещённая зона, где электрона быть не может. Ширина зоны зависит от перекрытия волновых функций соседних атомов: внутренние уровни расширяются в узкую зону, внешние — в широкую; это приближение сильно связанных электронов. Режим «Уровни» — простая модель: $E_{j} = E_{0} + 2 t \cos \frac{j π}{N + 1}$ , $t \propto e^{- a / λ}$ ; смещение центра уровней не учтено.

Периодический потенциал и теорема Блоха

Второй подход — слабо связанные (почти свободные) электроны: к свободному электрону ( $E = ℏ^{2} k^{2} / 2 m$ ) добавляется слабый периодический потенциал. По теореме Блоха волновая функция в периодическом потенциале $ψ = u_{k} (x) e^{i k x}$ — вероятность повторяется в каждой ячейке. При $k = n π / d$ (граница зоны Бриллюэна) волна электрона испытывает на решётке брэгговское отражение: образуются две стоячие волны, и в энергии возникает разрыв — открывается запрещённая зона. В модели Кронига–Пенни при малом $V_{0}$ зависимость $E (k)$ близка к свободной параболе (зоны широкие, щели узкие); при большом $V_{0}$ или большой ширине барьера $b$ зоны сужаются, и картина переходит к случаю сильной связи.

Эффективная масса, дырка и движение в поле

Скорость электрона в кристалле $v = \frac{1}{ℏ} \frac{d E}{d k}$ , а его отклик на внешнюю силу определяется эффективной массой $m^{*}$ : у дна зоны $m^{*} > 0$ , у потолка зоны $m^{*} < 0$ — там электрон ускоряется против силы. Свободное место в почти заполненной зоне удобно рассматривать как частицу с положительным зарядом и положительной массой — дырку. В поле $ℏ d k / d t = - e ℰ$ : $k$ смещается вдоль зоны, доходит до границы и возвращается с другого края зоны, а скорость меняет знак — блоховские осцилляции. В обычном кристалле электрон рассеивается примерно за $10^{- 14}$ с, и колебания не видны; их можно наблюдать в искусственных полупроводниковых сверхрешётках. В модели электрон остаётся в одной зоне (межзонное туннелирование Зинера не учтено).

Металл, диэлектрик, полупроводник

Всё зависит от заполнения зон. В меди верхняя зона заполнена частично: уровень Ферми лежит внутри зоны, и даже очень малая энергия может перевести электрон в свободное состояние — металл. Если между заполненной валентной зоной и пустой зоной проводимости есть щель $E_{g}$ : при $E_{g}$ в несколько эВ — диэлектрик (алмаз ≈ 5,5 эВ), при $E_{g} \sim 1$ эВ — полупроводник (Si 1,12 эВ, Ge 0,66 эВ, GaAs 1,42 эВ). В полупроводнике тепло выбрасывает часть электронов в верхнюю зону — собственная проводимость; если добавить фосфор (донор) или бор (акцептор), возникает примесная проводимость n- или p-типа. Фотон с энергией $h ν > E_{g}$ создаёт электронно-дырочную пару — фотопроводимость; поэтому алмаз не поглощает видимый свет (прозрачен), а кремний поглощает. При контакте p- и n-областей возникает p–n-переход — основа диода, транзистора, солнечного элемента и светодиода (подробнее в эксперименте «Физика полупроводников»).

Статистика носителей заряда и уровень Ферми

Электроны занимают состояния по распределению Ферми–Дирака $f (E) = 1 / (e^{(E - E_{F}) / k T} + 1)$ : уровень Ферми $E_{F}$ — энергия, при которой вероятность заполнения равна ½. Распределение электронов в зоне = плотность состояний $g (E) \propto \sqrt{E - E_{c}}$ × $f (E)$ : на графике узкие «хвосты» у краёв зон (форма нормирована). В чистом полупроводнике $E_{F}$ близок к середине запрещённой зоны и $n = p = n_{i}$ ; доноры приближают $E_{F}$ к $E_{c}$ , акцепторы — к $E_{v}$ . При нагревании $n_{i}$ растёт экспоненциально, и $E_{F}$ снова возвращается к середине. Модель: все примеси ионизованы (низкотемпературное «вымораживание» не учтено), $E_{g} (T)$ — формула Варшни, подвижность $μ \propto T^{- 3 / 2}$ (приблизительно), мультиметр измеряет образец 1 см × 1 мм × 1 мм.

Газ свободных электронов: Друде и Зоммерфельд

Друде рассматривал электроны в металле как классический газ (дрейф и закон Ома — эксперимент «Электрический ток в металлах»). Зоммерфельд же рассматривал их как квантовый газ: по принципу Паули даже при $T = 0$ электроны заполняют в $k$ -пространстве сферу Ферми радиуса $k_{F}$ ; её поверхность — поверхность Ферми, энергия $E_{F}$ (в меди 7,0 эВ, то есть $T_{F} \approx 82 000$ K) — газ вырожден. При нагревании возбуждается лишь доля $\sim k T / E_{F}$ электронов вблизи поверхности, поэтому электронная теплоёмкость мала: $C = γ T$ . Кванты колебаний решётки — фононы (дебаевская плотность состояний $\propto ω^{2}$ ) — при низких температурах дают $β T^{3}$ ; построив $C / T$ в зависимости от $T^{2}$ , находят $γ$ и $θ_{D}$ . Спины дают паулиевский парамагнетизм $χ_{P} = μ_{0} μ_{B}^{2} g (E_{F})$ , орбитальное движение — диамагнетизм Ландау $χ_{L} = - χ_{P} / 3$ . В белых карликах электронный газ релятивистски вырожден: его давление удерживает звезду при массе примерно до 1,4 массы Солнца (предел Чандрасекара).

Знаете ли вы?

Феликс Блох доказал свою теорему об электроне в кристалле в 1928 году в докторской диссертации, написанной в Лейпцигском университете под руководством Вернера Гейзенберга.
Кремний почти не поглощает инфракрасное излучение с длиной волны больше ≈ 1,1 мкм, поэтому из него делают линзы и окна для инфракрасных камер диапазона 3–5 мкм — хотя глазу он кажется блестящей серой непрозрачной пластиной.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Термоядерный синтез — 11 класс
Регистрация частиц — 11 класс
Элементарные частицы — 11 класс
Спин, эффект Зеемана и МРТ — 1 курс
Многоэлектронные атомы — 1 курс
Шрёдингер и туннельный эффект — 3 курс
Квантовые точки и потенциальная яма — 3 курс
Молекула: связь и спектр — 3 курс
Сверхпроводимость — 3 курс