Физика · Гравитация и космос · 4 курс

Чёрные дыры

Какие лучи попадают в чёрную дыру и почему тень больше горизонта?

Ситуация

В апреле 2019 года команда «Телескопа горизонта событий» (EHT) впервые в истории опубликовала изображение окрестностей чёрной дыры: светящееся кольцо вокруг чёрной дыры в центре галактики M87, примерно в 6,5 миллиарда раз тяжелее Солнца, и тёмная «тень» внутри него. Сама чёрная дыра ничего не излучает — мы видим раскалённый газ и лучи света, изогнутые кривизной пространства-времени. Какие лучи падают в чёрную дыру, какие ускользают и почему тень намного больше горизонта?

Тема

Общая теория относительности, чёрные дыры. Искривление света вокруг чёрной дыры

Ключевые понятия

Радиус Шварцшильда
Искривление света
Фотонная сфера и ISCO

Формулы

r_{s} = \frac{2 G M}{c^{2}} \approx 2,95 km \cdot \frac{M}{M_{⊙}}

Радиус Шварцшильда — радиус горизонта событий.

\frac{d^{2} u}{d φ^{2}} + u = \frac{3}{2} r_{s} u^{2}, u = \frac{1}{r}

Уравнение светового луча (нулевая геодезическая). Если правая часть равна нулю — прямая линия.

r_{p h} = \frac{3}{2} r_{s}, b_{c} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} r_{s} \approx 2,598 r_{s}, α \approx \frac{2 r_{s}}{b} (b ≫ r_{s})

Фотонная сфера, критическое прицельное расстояние и угол отклонения в слабом поле.

\frac{d τ}{d t} = \sqrt{1 - \frac{r_{s}}{r}}

Неподвижные часы на расстоянии $r$ идут медленнее далёких; на горизонте $\to 0$ .

\frac{d^{2} u}{d φ^{2}} + u = \frac{r_{s} c^{2}}{2 h^{2}} + \frac{3}{2} r_{s} u^{2}, r_{I S C O} = 3 r_{s}, Δ φ \approx \frac{3 π r_{s}}{a (1 - e^{2})}

Орбита массивной частицы: самая внутренняя устойчивая орбита и смещение перигелия.

Теория

Чёрная дыра Шварцшильда

Если масса $M$ сжата в объём с радиусом меньше $r_{s} = 2 G M / c^{2}$ , возникает горизонт событий: изнутри него не может выйти никакой сигнал. Для Солнца $r_{s} \approx 2,95$ км, для Земли ≈ 9 мм. Вблизи горизонта время замедляется: неподвижные часы идут со скоростью $\sqrt{1 - r_{s} / r}$ . Далёкий наблюдатель видит, что часы падающего на горизонт тела почти останавливаются, а его свет краснеет и гаснет.

Лучи света и тень

Член $\frac{3}{2} r_{s} u^{2}$ в уравнении луча — добавка общей теории относительности. Луч, прошедший вдали, отклоняется на угол $α \approx 2 r_{s} / b$ (вдвое больше ньютоновской оценки — подтверждено при солнечном затмении 1919 года). При $r = 1,5 r_{s}$ находится фотонная сфера: луч может идти по окружности, но это равновесие неустойчиво. Луч с прицельным расстоянием $b < b_{c} \approx 2,598 r_{s}$ обязательно поглощается — поэтому радиус чёрной тени примерно в 2,6 раза больше горизонта. Если приближать $b$ к $b_{c}$ , луч несколько раз обернётся вокруг фотонной сферы; а звёзды позади видны в виде кольца и дуг (кольцо Эйнштейна).

Орбиты частиц, ISCO

В уравнении массивной частицы тоже есть член $\frac{3}{2} r_{s} u^{2}$ . Он с каждым оборотом поворачивает орбиту вперёд (смещение перигелия: у Меркурия это 43″ за столетие). В сильном поле смещение очень велико — орбита принимает форму «розетки». При $r < 3 r_{s}$ устойчивой круговой орбиты нет (ISCO): частица падает по спирали. Поэтому внутренний край аккреционного диска расположен примерно на $3 r_{s}$ .

Принцип эквивалентности и опытные подтверждения

Принцип эквивалентности: ни один опыт внутри свободно падающей лаборатории не обнаруживает тяготения, а ускорение в закрытой ракете неотличимо от тяготения. Его основа — равенство инертной и гравитационной масс (все тела падают с одинаковым ускорением; подробнее — в эксперименте «Закон всемирного тяготения»). Отсюда Эйнштейн заключил, что тяготение — это кривизна пространства-времени; в этом главная идея общей теории относительности. Из неё следует гравитационное красное смещение: частота фотона, поднявшегося на высоту $H$ , уменьшается на $Δ f / f = g H / c^{2}$ (а частота фотона, ушедшего от чёрной дыры далеко, умножается на $\sqrt{1 - r_{s} / r}$ ). В 1960 году Р. Паунд и Г. Ребка на башне Гарвардского университета на высоте около 22,5 м измерили это смещение $2,5 \cdot 10^{- 15}$ с точностью ≈ 10 % (в 1964 году Паунд и Снайдер — ≈ 1 %). Это стало возможным благодаря эффекту Мёссбауэра (Р. Мёссбауэр, 1958): ядро $^{57} Fe$ в кристалле испускает и поглощает γ-квант 14,4 кэВ без отдачи, а относительная ширина линии всего $\approx 3 \cdot 10^{- 13}$ . Смещение компенсировали эффектом Доплера, двигая источник со скоростью $v = g H / c$ . Мёссбауэровская спектроскопия и сегодня применяется для определения химического состояния железа в веществе (например, на марсоходах). Другие подтверждения: отклонение света (1919), смещение перигелия Меркурия, часы GPS (эксперимент «Специальная теория относительности»), гравитационные волны (2015) и изображения EHT.

Компактные тела и гравитационное линзирование

Когда в ядре звезды заканчивается топливо, оно сжимается. Если масса остатка мала — получается белый карлик размером с Землю (его удерживает давление электронов; предел ≈ 1,4 $M_{⊙}$ — предел Чандрасекара), если больше — нейтронная звезда радиусом около 10–12 км (быстро вращающиеся — пульсары). Остаток тяжелее примерно 2–3 $M_{⊙}$ не может остановить никакое давление — образуется чёрная дыра. Эволюция звёзд и образование тяжёлых элементов — в эксперименте «Физика звёзд». Сливающиеся пары чёрных дыр и нейтронных звёзд — источники гравитационных волн: 14 сентября 2015 года LIGO зарегистрировал слияние чёрных дыр масс примерно 36 и 29 масс Солнца («Интерферометры и LIGO»). Гравитационное линзирование: если источник, линза и наблюдатель лежат на одной прямой, источник виден как кольцо Эйнштейна, его угловой радиус $θ_{E} = \sqrt{\frac{4 G M}{c^{2}} \frac{D_{L S}}{D_{L} D_{S}}}$ . Для звезды-линзы $θ_{E} \sim 1$ миллисекунды дуги — изображения не разделить, но когда линза проходит перед источником, источник временно становится ярче: $A = \frac{u^{2} + 2}{u \sqrt{u^{2} + 4}}$ , где $u$ — угол между источником и линзой (в единицах $θ_{E}$ ). Это микролинзирование; короткий дополнительный пик на кривой выдаёт планету у звезды-линзы. А скопления галактик линзируют далёкие галактики в виде дуг (тёмная материя и расширяющаяся Вселенная — в эксперименте «Расширяющаяся Вселенная»).

Модель

Невращающаяся незаряженная чёрная дыра (Шварцшильда); камера — неподвижный наблюдатель. Для каждого пикселя путь луча берётся из таблицы точных нулевых геодезических (512 лучей по $b$ , RK4), поэтому линзирование, тень и изогнутое изображение диска — результат расчёта. Диск тонкий; его цвет приближённо рисуется по профилю температуры, доплеровскому и гравитационному красному смещению $g = \sqrt{1 - r_{s} / r} / γ (1 - β \cos α)$ . Линии схемы (лучи, окружности) нарисованы в координатах $r, φ$ и сами не линзируются. Единица времени — $r_{s} / c$ ; при 1× 1 с = 10 $r_{s} / c$ .

Знаете ли вы?

Изображение M87* от EHT опубликовано 10 апреля 2019 года; угловой диаметр светящегося кольца около 42 микросекунд дуги. Изображение Sgr A* (масса примерно 4 миллиона масс Солнца) в центре нашей Галактики вышло в 2022 году.
Нобелевскую премию по физике 2020 года получили Роджер Пенроуз (за доказательство того, что чёрные дыры — неизбежное следствие общей теории относительности), а также Райнхард Гензель и Андреа Гез (за открытие сверхмассивного объекта в центре Галактики).

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.