Физика · Гравитация и космос · 10 класс

Закон всемирного тяготения

Притягиваются ли два свинцовых шара и как «взвесить» Землю?

Ситуация

По преданию, Ньютон, увидев падение яблока на землю, подумал, что сила, тянущая яблоко к Земле, и сила, удерживающая Луну возле Земли, — одна и та же. Тогда притягиваются ли друг к другу и два яблока на столе? В 1797–1798 годах Генри Кавендиш установил в небольшом здании крутильные весы и наблюдал за ними в телескоп через отверстие в стене: свинцовые шары по 158 кг едва заметно повернули шарики по 0,73 кг. Как по этому крошечному повороту можно «взвесить» всю Землю?

Тема

Закон всемирного тяготения. Весы Кавендиша: два свинцовых шара притягивают друг друга

Ключевые понятия

Гравитационная постоянная G
Опыт Кавендиша
Напряжённость и потенциал поля

Формулы

F = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}

Закон всемирного тяготения (Ньютон, 1687): любые два тела притягиваются друг к другу.

G = \frac{2 π^{2} L θ r^{2}}{M T^{2}}, θ = \frac{S}{2 D}

Весы Кавендиша: $L$ — длина стержня, $T$ — период колебаний, $S$ — смещение пятна на шкале, $D$ — расстояние от зеркала до шкалы.

g = \frac{G M}{{(R + h)}^{2}} = g_{0} \frac{R^{2}}{{(R + h)}^{2}}, M = \frac{g_{0} R^{2}}{G}

Напряжённость поля уменьшается с высотой; если известна $G$ — масса Земли («взвешивание Земли»).

φ = - \frac{G M}{r}, A = m (φ_{1} - φ_{2}) = G M m (\frac{1}{r_{2}} - \frac{1}{r_{1}})

Гравитационный потенциал и работа силы тяжести — не зависят от формы пути.

m_{i} a = m_{g} g \Rightarrow a = g (m_{g} = m_{i})

Принцип эквивалентности: инертная и гравитационная массы равны — все тела падают с одинаковым ускорением.

Теория

Закон всемирного тяготения

По закону, опубликованному Ньютоном в 1687 году, любые два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния: $F = G m_{1} m_{2} / r^{2}$ . $G$ очень мала: два шара по 1 кг на расстоянии 10 см притягиваются с силой всего $6,7 \cdot 10^{- 9}$ Н. Вблизи Земли эта сила — сила тяжести $F = m g$ ; а вес — это сила, с которой тело давит на опору или тянет подвес (в покое $P = m g$ , в ускоряющемся лифте меняется — эксперимент «Законы Ньютона»). В природе четыре фундаментальных взаимодействия: гравитационное, электромагнитное (к нему же относятся силы упругости и трения), сильное и слабое. Гравитация — самое слабое, но оно дальнодействующее и всегда притягивает — им управляются планеты и галактики.

Опыт Кавендиша

Лёгкий стержень подвешен на тонкой нити, на его концах небольшие шарики. Большие шары притягивают их и закручивают стержень на угол $θ$ , а нить сопротивляется кручению: $κ θ = F L$ . Жёсткость нити находим из периода свободных колебаний: $T = 2 π \sqrt{I / κ}$ , $I = m L^{2} / 2$ . Объединив, получаем $G = 2 π^{2} L θ r^{2} / (M T^{2})$ — малая масса $m$ сокращается. Поскольку поворот составляет несколько миллирадиан, используется оптический рычаг: если зеркало повернулось на $θ$ , отражённый луч поворачивается на $2 θ$ , и пятно на шкале на расстоянии $D$ смещается на $S = 2 θ D$ . Перестановка больших шаров из «−» в «+» удваивает смещение.

G и масса Земли

Если известна $G$ , то из $g = G M / R^{2}$ на поверхности Земли получается масса Земли: $M = g R^{2} / G \approx 6 \cdot 10^{24}$ кг, а средняя плотность — около 5,5 г/см³, вдвое больше, чем у горных пород на поверхности, значит, недра Земли тяжелее. $G$ до сих пор — наименее точно известная фундаментальная постоянная: по CODATA-2018 $G = 6,67430 (15) \cdot 10^{- 11}$ Н·м²/кг². Модель: масса стержня не учитывается; учтены притяжение дальнего большого шара и изменение $r$ при повороте — они дают поправку к формуле около 0,3 %; воздушных потоков и изменений температуры нет.

g зависит от высоты и широты

По высоте $g = g_{0} R^{2} / {(R + h)}^{2}$ : даже на высоте МКС (≈ 410 км) $g$ составляет около 88 % от значения на поверхности — космонавты невесомы не из-за отсутствия тяготения, а потому что свободно падают. По широте $g$ на экваторе 9,780, на полюсе 9,832 м/с². Причины две: центробежная сила инерции из-за вращения Земли (она уменьшает $g$ на $ω^{2} R \cos^{2} φ$ , на экваторе ≈ 0,034 м/с²) и сжатие Земли — экваториальный радиус примерно на 21 км больше полярного. В режиме «Где g?» рассмотрите оба вклада отдельно.

Гравитационное поле: напряжённость и потенциал

Вокруг массы существует гравитационное поле. Его напряжённость $\vec{g} = \vec{F} / m$ — сила, действующая на 1 кг, направлена к центру, $g = G M / r^{2}$ . Потенциал $φ = - G M / r$ — потенциальная энергия 1 кг (на бесконечности нуль). Работа силы тяжести не зависит от пути: $A = m (φ_{1} - φ_{2})$ — поле потенциальное (консервативное). Поверхности равного потенциала перпендикулярны силовым линиям. Глубина «воронки» показывает $φ$ : зонд, запущенный вертикально, поднимается до уровня своей полной энергии, а при $E \geq 0$ ( $v_{0} \geq 11,2$ км/с) не вернётся. Орбиты и космические скорости — в эксперименте «Пушка Ньютона: искусственный спутник».

Инертная и гравитационная масса. Современные представления

Инертная масса $m_{i}$ показывает, насколько тело сопротивляется ускорению ( $F = m_{i} a$ ), а гравитационная масса $m_{g}$ — насколько сильно его притягивает поле ( $F = m_{g} g$ ). Опыты показывают, что они равны: опыты Этвёша (начало 1900-х годов, точность около $10^{- 8}$ – $10^{- 9}$ ) и спутник MICROSCOPE (2022, точность $10^{- 15}$ ) разницы не нашли. Отсюда Эйнштейн вывел принцип эквивалентности: опыты в ускоряющейся кабине нельзя отличить от действия тяготения. В общей теории относительности тяготение — это кривизна пространства-времени; её подтверждают отклонение света около Солнца, поправка, вносимая в часы GPS, и гравитационные волны, зарегистрированные LIGO в 2015 году. В технике тяготение учитывают в орбитах спутников, в GPS и в гравиметрии (разведка полезных ископаемых).

Знаете ли вы?

Кавендиш определил не $G$ , а среднюю плотность Земли: в статье он писал, что она в 5,48 раза больше плотности воды; позже в его расчёте нашли ошибку, и из его собственных измерений получалось 5,448. Современное значение — около 5,51.
2 августа 1971 года астронавт «Аполлона-15» Дэвид Скотт на Луне одновременно отпустил геологический молоток массой 1,32 кг и перо сокола массой 30 г — они упали на поверхность вместе.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Солнечная система — 7 класс
Масштабы Вселенной — 9 класс
Пушка Ньютона: искусственный спутник — 10 класс
Специальная теория относительности — 10 класс
Релятивистская динамика — 10 класс
Законы Кеплера — 10 класс
Физика звёзд — 1 курс
Расширяющаяся Вселенная — 1 курс
Чёрные дыры — 4 курс