Физика · Гравитация и космос · 10 класс

Законы Кеплера

По какой траектории и с какой скоростью планета обращается вокруг Солнца?

Ситуация

В XV веке в обсерватории в Самарканде Мирзо Улугбек и его ученики наблюдали за Солнцем, Луной и звёздами с помощью огромной меридианной дуги радиусом около 40 м. Каждый день в полдень солнечный луч проходил через щель в центре дуги и падал на градуированные мраморные рельсы — это пятно в течение года смещается то вверх, то вниз. Такие точные измерения позже стали фундаментом небесной механики: в начале XVII века Иоганн Кеплер открыл три закона движения планет. По какому пути и с какой скоростью планета движется вокруг Солнца?

Тема

Законы Кеплера. Обсерватория Мирзо Улугбека и движение планет

Ключевые понятия

Эллипс и фокус
Закон равных площадей
T² = a³

Формулы

r = \frac{a (1 - e^{2})}{1 + e \cos θ}, r_{m i n} = a (1 - e), r_{m a x} = a (1 + e)

I закон Кеплера: орбита — эллипс, Солнце находится в одном из его фокусов.

\frac{Δ S}{Δ t} = \frac{L}{2 m} = const

II закон: радиус-вектор за равные времена описывает равные площади (момент импульса $L$ сохраняется).

T^{2} = \frac{4 π^{2}}{G (M_{⊙} + m)} a^{3} \Rightarrow \frac{T^{2}}{a^{3}} \approx 1 \frac{{год}^{2}}{{а. е.}^{3}} (m ≪ M_{⊙})

III закон: период зависит только от большой полуоси, а не от эксцентриситета. В точной форме в формуле стоит сумма масс двух тел.

v^{2} = G (M_{⊙} + m) (\frac{2}{r} - \frac{1}{a}), μ = \frac{M_{⊙} m}{M_{⊙} + m}

Уравнение vis-viva (для относительной скорости) и приведённая масса $μ$ : задача двух тел сводится к задаче одного тела.

h_{полд} = 90^{\circ} - φ + δ

Обсерватория: высота Солнца в полдень (для Самарканда $φ \approx {39,7}^{\circ}$ , $δ$ — склонение Солнца, $\pm {23,4}^{\circ}$ ).

Теория

I закон: эллипс

Под действием силы тяготения $F = G M m / r^{2}$ замкнутая орбита — эллипс, а Солнце стоит не в его центре, а в фокусе. Эксцентриситет $e$ показывает вытянутость: $e = 0$ — окружность, $e \to 1$ — очень вытянутый эллипс (у кометы Галлея $e \approx 0,967$ ). Ближайшая точка — перигелий $q = a (1 - e)$ , самая далёкая — афелий $Q = a (1 + e)$ . Второй фокус $F_{2}$ пуст.

II закон: равные площади

Сила тяготения всегда направлена к Солнцу (центральная сила), поэтому она не «закручивает» планету — момент импульса $L = m r v_{⟂}$ сохраняется. В результате радиус-вектор за равные времена описывает равные площади: в перигелии сектор короткий и широкий, в афелии — длинный и узкий. Поэтому, приближаясь к Солнцу, планета ускоряется. Включите «Секторы» — площади сравниваются на столбчатой диаграмме.

III закон и логарифмический график

Из закона тяготения Ньютона следует $T^{2} = 4 π^{2} a^{3} / G M_{⊙}$ . В годах и а. е. это просто $T^{2} = a^{3}$ . Значения $a$ у планет от 0,39 до 30 а. е. — различаются в 80 раз, поэтому график строится в логарифмическом масштабе: все планеты и орбиты, которые вы измерили, ложатся на одну прямую. Обратите внимание: если вы измените $e$ , период не изменится. Это следствие механического подобия: если потенциал $U \propto r^{k}$ , то при увеличении всех длин в $λ$ раз уравнение движения не меняется, когда время растягивается в $λ^{1 - k / 2}$ раз. Для тяготения $k = - 1$ , значит, $T \propto a^{3 / 2}$ ; для пружины ( $k = 2$ ) период не зависит от амплитуды.

Задача двух тел и приведённая масса

На самом деле и Солнце не неподвижно: оба тела обращаются вокруг общего центра масс. Для относительного вектора $\vec{r} = {\vec{r}}_{2} - {\vec{r}}_{1}$ уравнение превращается в задачу одного тела: вместо массы стоит приведённая масса $μ = M m / (M + m)$ , а вместо массы притягивающего центра — $M + m$ ; поэтому в III законе стоит $G (M + m)$ . Солнце с тем же периодом, что и планета, всегда на противоположной от неё стороне, описывает малый эллипс с большой полуосью $a m / (M + m)$ . Для Юпитера это ≈ 0,005 а. е. — чуть больше радиуса Солнца: центр масс лежит немного за поверхностью Солнца. Это «колебание» Солнца (≈ 12,5 м/с) — один из способов поиска планет у далёких звёзд. В разделе «Задача двух тел» увеличьте $m$ : при $m = M$ две звезды описывают одинаковые эллипсы.

Эффективный потенциал, теорема вириала, Гамильтон–Якоби

В центральном поле момент импульса $L$ сохраняется, и радиальное движение остаётся одномерным: $E = \frac{1}{2} μ {\dot{r}}^{2} + U_{e f} (r)$ , $U_{e f} = \frac{L^{2}}{2 μ r^{2}} - \frac{G M m}{r}$ . Первое слагаемое — центробежный барьер. Тело может двигаться только там, где $E \geq U_{e f}$ : при $E < 0$ оно колеблется в «яме» между перигелием и афелием (эллипс), при $E \geq 0$ уходит на бесконечность. Посмотрите на график: яма и линия $E$ . Теорема вириала: при $U \propto 1 / r$ средние за период удовлетворяют $2 ⟨ K ⟩ = - ⟨ U ⟩$ , то есть $⟨ K ⟩ = - E$ — это проверяется в таблице результатов после каждого оборота. В методе Гамильтона–Якоби функция действия разделяется по переменным: $S = - E t + L φ + \int \sqrt{2 μ (E - U_{e f} (r))} d r$ — под корнем стоит тот же эффективный потенциал; из неё получается уравнение орбиты $r (φ)$ (общий метод — в эксперименте «Гамильтонова механика»).

Модель и обсерватория

Симуляция напрямую интегрирует законы Ньютона для относительного вектора (метод скоростей Верле, шаг уменьшается вблизи Солнца); при $m = 0$ Солнце неподвижно, влияние других планет не учитывается. Опыт Кавендиша, измерившего гравитационную постоянную $G$ , — в эксперименте «Закон всемирного тяготения». Законы Кеплера здесь не закладывались — они получаются сами из расчёта. Модель обсерватории — упрощённая реконструкция; высота пятна на меридианной дуге вычисляется по годовому движению Солнца по формуле $h = 90^{\circ} - φ + δ$ . Время ускорено: при 1× 1 с = 0,1 года.

Знаете ли вы?

В таблицах Улугбека «Зидж Султани» приведены положения 1018 звёзд. Звёздный год он определил как 365 суток 6 ч 10 мин 8 с — это всего примерно на минуту больше современного значения.
Кеплер опубликовал первые два закона в 1609 году в сочинении «Новая астрономия», а третий — в 1619 году в «Гармонии мира». Он использовал положения Марса, измеренные Тихо Браге.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Масштабы Вселенной — 9 класс
Пушка Ньютона: искусственный спутник — 10 класс
Специальная теория относительности — 10 класс
Закон всемирного тяготения — 10 класс
Релятивистская динамика — 10 класс
Физика звёзд — 1 курс
Расширяющаяся Вселенная — 1 курс
Чёрные дыры — 4 курс