Физика · Гравитация и космос · 10 класс

Релятивистская динамика

Почему протон нельзя разогнать до скорости света, а его энергия растёт безгранично?

Ситуация

В ускорителе протон при прохождении каждого зазора получает одинаковую энергию. По механике Ньютона, достаточно сообщить ему всего 469 МэВ кинетической энергии, чтобы он достиг скорости света. Но на Большом адронном коллайдере протоны имеют энергию 6,8 ТэВ — более чем в 14 000 раз больше — и всё равно летят медленнее света. К тому же два события, одновременные для одного наблюдателя, для другого не одновременны. Куда уходит энергия и почему никто не может превзойти $c$ ?

Тема

Релятивистская динамика, диаграмма Минковского. Протон в ускорителе: E = mc², импульс и относительность одновременности

Ключевые понятия

Диаграмма Минковского
E² = p²c² + m²c⁴
Относительность одновременности

Формулы

x^{'} = γ (x - u t), t^{'} = γ (t - \frac{u x}{c^{2}}), γ = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}}

Преобразования Лоренца: координаты наблюдателя, движущегося со скоростью $u$ . Слагаемое $u x / c^{2}$ в $t^{'}$ — относительность одновременности.

s^{2} = c^{2} Δ t^{2} - Δ x^{2} = c^{2} Δ t^{' 2} - Δ x^{' 2} = c^{2} Δ τ^{2}

Интервал одинаков для всех инерциальных наблюдателей; для времениподобных событий он даёт собственное время $τ$ .

w = \frac{u^{'} + v}{1 + u^{'} v / c^{2}}

Сложение скоростей: $0,6 c$ и $0,6 c$ дают $0,882 c$ , никогда не больше $c$ .

E = γ m c^{2}, \vec{p} = γ m \vec{v}, E^{2} = {(p c)}^{2} + {(m c^{2})}^{2}

Релятивистские энергия и импульс; $K = (γ - 1) m c^{2}$ . Для покоящегося тела $E_{0} = m c^{2}$ .

f = f_{0} \sqrt{\frac{1 + β}{1 - β}}, \cos θ^{'} = \frac{\cos θ + β}{1 + β \cos θ}

Релятивистский эффект Доплера (источник приближается) и аберрация света; $β = v / c$ .

Теория

Постулаты и одновременность

Принцип относительности Галилея был верен для механики, но электродинамика Максвелла предсказывает, что скорость света равна $c$ — относительно какой системы отсчёта? Эйнштейн принял два постулата: во всех инерциальных системах законы физики одинаковы, а скорость света не зависит от движения источника. Отсюда следуют преобразования Лоренца. В сцене «Минковский» вспышка происходит посередине корабля: для экипажа свет достигает обоих концов одновременно (R и F), а для станции задний конец движется навстречу свету и освещается раньше: $t_{F} - t_{R} = γ v L_{0} / c^{2}$ . Замедление времени и сокращение длины подробно разобраны в эксперименте «Специальная теория относительности».

Диаграмма Минковского, интервал, четырёхмерные векторы

На диаграмме каждое тело — мировая линия, свет — линия под 45°. При переходе к другому наблюдателю (буст) оси сближаются, как ножницы, а световой конус остаётся на месте. Интервал $s^{2}$ не меняется: между R и F $s^{2} = - L_{0}^{2}$ (пространственноподобный) — поэтому их порядок зависит от наблюдателя (при $u > v$ первым будет F!). Между O и R $s^{2} = 0$ , между O и отметками часов $s^{2} > 0$ (времениподобный) — порядок таких событий не меняется никогда: причинность сохраняется. $(c t, x, y, z)$ — четырёхмерный вектор; четырёхскорость $u^{μ} = γ (c, \vec{v})$ , четырёхимпульс $p^{μ} = (E / c, \vec{p})$ , его «длина» $E^{2} / c^{2} - p^{2} = m^{2} c^{2}$ . Четырёхускорение всегда «перпендикулярно» четырёхскорости: $a_{μ} u^{μ} = 0$ .

Скорости, эффект Доплера, аберрация, опыт Физо

Если с корабля вперёд запустить зонд со скоростью $u^{'}$ , станция измерит $w = (u^{'} + v) / (1 + u^{'} v / c^{2})$ . Для света ( $u^{'} = c$ ) результат снова $c$ . Приёмник перед маяком корабля измеряет частоту в $\sqrt{(1 + β) / (1 - β)}$ раз большую, а сзади — во столько же раз меньшую; сбоку — в $1 / γ$ раз меньшую: в классической физике этого поперечного эффекта Доплера нет. Из кабины звёзды собираются вперёд (аберрация) и синеют. Из-за скорости Земли на орбите (30 км/с) звёзды за год смещаются примерно на 20,5″ — это открыл Дж. Брэдли в XVIII веке. В 1851 году И. Физо измерил скорость света в текущей воде и нашёл $c / n + v (1 - 1 / n^{2})$ — это тоже следствие закона сложения скоростей.

Релятивистская динамика: $E = mc^2$

Импульс $p = γ m v$ , энергия $E = γ m c^{2}$ . При $v \to c$ имеем $γ \to \infty$ : чтобы разогнать протон до $c$ , нужна бесконечная энергия. При малых скоростях $K = (γ - 1) m c^{2} \approx m v^{2} / 2$ — механика Ньютона верна в пределе $v ≪ c$ . В старых учебниках $m = γ m_{0}$ называли «зависимостью массы от скорости»; в современной физике $m$ — инвариантная (масса покоя), а $γ$ входит в энергию и импульс. Энергия покоящегося тела $E_{0} = m c^{2}$ : в ядерных реакциях уменьшение массы выделяется в виде энергии. В теоретической механике всё выводится из функции Лагранжа свободной частицы $L = - m c^{2} \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ (действие $S = - m c^{2} \int d τ$ пропорционально собственному времени): импульс $\vec{p} = \partial L / \partial \vec{v} = γ m \vec{v}$ , энергия $E = \vec{p} \cdot \vec{v} - L = γ m c^{2}$ ; при $v ≪ c$ имеем $L \approx - m c^{2} + m v^{2} / 2$ — ньютоновская кинетическая энергия. Для заряда в электромагнитном поле $L = - m c^{2} / γ + q \vec{v} \cdot \vec{A} - q φ$ . В сцене «Ускоритель» длина трубок $L = β λ / 2$ : по мере разгона протона они удлиняются, а при $v \to c$ становятся почти одинаковыми. Заряд, разгоняемый по окружности, излучает синхротронное излучение; его мощность пропорциональна $γ^{4}$ , поэтому в электронных кольцах потери энергии велики.

Распады и столкновения

В замкнутой (изолированной) системе сохраняется четырёхимпульс: отдельно сумма энергий и сумма импульсов. Масса же не сохраняется — сохраняется инвариантная масса системы $M = \sqrt{E^{2} - p^{2} c^{2}} / c^{2}$ . Покоящийся $π^{0}$ распадается на два фотона, каждый с энергией $m_{π} c^{2} / 2 = 67,5$ МэВ. В распаде $π^{+} \to μ^{+} ν$ мюон получает всего 4,12 МэВ кинетической энергии. При упругом столкновении частиц равной массы (мишень покоится) у Ньютона две частицы разлетаются под углом 90°, а в релятивистском случае угол меньше 90°. Реакция $p + p \to p + p + π^{0}$ на неподвижной мишени начинается лишь при $K \geq 2 m_{π} c^{2} + m_{π}^{2} c^{2} / 2 m_{p} \approx 279,7$ МэВ: часть энергии тратится на движение центра масс.

Поля, квантовая теория и гравитация — границы модели

Электрическое и магнитное поля — части одного тензора электромагнитного поля: при переходе к другому наблюдателю они смешиваются ( ${\vec{E}}_{⟂}^{'} = γ {(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})}_{⟂}$ ), но $\vec{E} \cdot \vec{B}$ и $E^{2} - c^{2} B^{2}$ инвариантны. Покоящийся заряд создаёт только электрическое поле; в системе, движущейся со скоростью $\vec{v}$ , есть и ток, и возникает магнитное поле $\vec{B} = \vec{v} \times \vec{E} / c^{2}$ . Два электрона, летящих рядом: в системе, летящей вместе с ними, есть только кулоновское отталкивание $F_{0}$ , а в лаборатории добавляется ещё и магнитное притяжение, и результат $F_{0} / γ$ — какое поле «электрическое», а какое «магнитное», зависит от наблюдателя. Статья Эйнштейна 1905 года начинается именно с такого примера — с относительного движения магнита и проводника. Потенциалы $(φ / c, \vec{A})$ образуют четырёхвектор. Если в $E^{2} = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}$ заменить $E \to i ℏ \partial_{t}$ , $\vec{p} \to - i ℏ \nabla$ , получится уравнение Клейна–Гордона; Дирак превратил его в уравнение первого порядка — из него следуют спин электрона и античастицы (позитрон открыт в 1932 году). Принцип эквивалентности (ускорение и тяготение неразличимы) ведёт к общей теории относительности («Чёрные дыры»). Модель: движение вдоль одной оси, часы идеальные, в детекторе нет магнитного поля, время для наглядности замедлено.

Знаете ли вы?

В 1932 году Дж. Кокрофт и Э. Уолтон с помощью ускоренных протонов расщепили ядра лития-7 на два ядра гелия. Выделившаяся энергия (около 17 МэВ) соответствовала уменьшению массы ядер по формуле $E = m c^{2}$ .
На Большом адронном коллайдере с 2022 года протоны имеют энергию 6,8 ТэВ. При этом $γ \approx 7 250$ , и протон летит медленнее света всего примерно на 3 м/с.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Солнечная система — 7 класс
Масштабы Вселенной — 9 класс
Пушка Ньютона: искусственный спутник — 10 класс
Специальная теория относительности — 10 класс
Закон всемирного тяготения — 10 класс
Законы Кеплера — 10 класс
Физика звёзд — 1 курс
Расширяющаяся Вселенная — 1 курс
Чёрные дыры — 4 курс