Fizika · Gravitatsiya va koinot · 10-sinf

Relyativistik dinamika

Nega protonni yorug‘lik tezligigacha tezlatib bo‘lmaydi, energiyasi esa cheksiz o‘sadi?

Vaziyat

Tezlatgichda proton har bir tirqishdan o‘tganda bir xil energiya oladi. Nyuton mexanikasiga ko‘ra, unga atigi 469 MeV kinetik energiya bersak, u yorug‘lik tezligiga yetishi kerak edi. Lekin Katta adron kollayderida protonlar 6,8 TeV energiyaga ega — 14 000 martadan ham ko‘p — ammo baribir yorug‘likdan sekin uchadi. Bunga qo‘shimcha ravishda, bir kuzatuvchi uchun bir vaqtda sodir bo‘lgan ikki voqea boshqasi uchun bir vaqtda emas. Energiya qayerga ketadi va nega $c$ ni hech kim bosib o‘ta olmaydi?

Mavzu

Relyativistik dinamika, Minkovskiy diagrammasi. Tezlatgichdagi proton: E = mc², impuls va bir vaqtlilikning nisbiyligi

Asosiy tushunchalar

Minkovskiy diagrammasi
E² = p²c² + m²c⁴
Bir vaqtlilikning nisbiyligi

Formulalar

x^{'} = γ (x - u t), t^{'} = γ (t - \frac{u x}{c^{2}}), γ = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}}

Lorens almashtirishlari: $u$ tezlikdagi kuzatuvchining koordinatalari. $t^{'}$ dagi $u x / c^{2}$ hadi — bir vaqtlilikning nisbiyligi.

s^{2} = c^{2} Δ t^{2} - Δ x^{2} = c^{2} Δ t^{' 2} - Δ x^{' 2} = c^{2} Δ τ^{2}

Interval barcha inersial kuzatuvchilarda bir xil; vaqtsimon voqealar uchun u xususiy vaqtni $τ$ beradi.

w = \frac{u^{'} + v}{1 + u^{'} v / c^{2}}

Tezliklarni qo‘shish: $0,6 c$ va $0,6 c$ birga $0,882 c$ beradi, hech qachon $c$ dan oshmaydi.

E = γ m c^{2}, \vec{p} = γ m \vec{v}, E^{2} = {(p c)}^{2} + {(m c^{2})}^{2}

Relyativistik energiya va impuls; $K = (γ - 1) m c^{2}$ . Tinch turgan jismda $E_{0} = m c^{2}$ .

f = f_{0} \sqrt{\frac{1 + β}{1 - β}}, \cos θ^{'} = \frac{\cos θ + β}{1 + β \cos θ}

Relyativistik Dopler effekti (manba yaqinlashganda) va yorug‘lik aberratsiyasi; $β = v / c$ .

Nazariya

Postulatlar va bir vaqtlilik

Galiley nisbiylik prinsipi mexanika uchun to‘g‘ri edi, lekin Maksvell elektrodinamikasi yorug‘lik tezligini $c$ ga teng deb bashorat qiladi — qaysi sanoq tizimiga nisbatan? Eynshteyn ikki postulat qabul qildi: barcha inersial tizimlarda fizika qonunlari bir xil, va yorug‘lik tezligi manba harakatiga bog‘liq emas. Bundan Lorens almashtirishlari kelib chiqadi. «Minkovskiy» sahnasida chaqnash kemaning o‘rtasida bo‘ladi: kema ekipaji uchun yorug‘lik ikki uchiga bir vaqtda yetadi (R va F), stansiya uchun esa orqa uch yorug‘likka qarab yuradi va oldinroq yoritiladi: $t_{F} - t_{R} = γ v L_{0} / c^{2}$ . Vaqtning sekinlashishi va uzunlik qisqarishi «Maxsus nisbiylik nazariyasi» tajribasida batafsil.

Minkovskiy diagrammasi, interval, to‘rt o‘lchovli vektorlar

Diagrammada har bir jism — dunyo chizig‘i, yorug‘lik — 45° chiziq. Boshqa kuzatuvchiga o‘tganda (boost) o‘qlar qaychidek yaqinlashadi, yorug‘lik konusi esa joyida qoladi. Interval $s^{2}$ o‘zgarmaydi: R va F orasida $s^{2} = - L_{0}^{2}$ (fazosimon) — shuning uchun ularning tartibi kuzatuvchiga bog‘liq ( $u > v$ da F oldin!). O va R orasida $s^{2} = 0$ , O va soat belgilari orasida $s^{2} > 0$ (vaqtsimon) — bunday voqealar tartibi hech qachon almashmaydi: sababiyat saqlanadi. $(c t, x, y, z)$ — to‘rt o‘lchovli vektor; to‘rt-tezlik $u^{μ} = γ (c, \vec{v})$ , to‘rt-impuls $p^{μ} = (E / c, \vec{p})$ , uning «uzunligi» $E^{2} / c^{2} - p^{2} = m^{2} c^{2}$ . To‘rt-tezlanish to‘rt-tezlikka doim «perpendikulyar»: $a_{μ} u^{μ} = 0$ .

Tezliklar, Dopler effekti, aberratsiya, Fizo tajribasi

Kemadan oldinga $u^{'}$ tezlikda zond uchirilsa, stansiya $w = (u^{'} + v) / (1 + u^{'} v / c^{2})$ ni o‘lchaydi. Yorug‘lik uchun ( $u^{'} = c$ ) natija yana $c$ . Kema mayog‘i oldidagi qabul qilgich chastotani $\sqrt{(1 + β) / (1 - β)}$ marta ko‘p, orqadagisi shuncha marta kam o‘lchaydi; yon tomondagisi esa $1 / γ$ marta kam — klassik fizikada bu ko‘ndalang Dopler effekti yo‘q. Kabinadan yulduzlar oldinga to‘planadi (aberratsiya) va ko‘karadi. Yer orbitasidagi tezligi (30 km/s) tufayli yulduzlar ham yil davomida taxminan 20,5″ ga siljiydi — buni J. Bredli XVIII asrda kashf etgan. 1851-yilda I. Fizo oqayotgan suvda yorug‘lik tezligini o‘lchab $c / n + v (1 - 1 / n^{2})$ ni topdi — bu ham tezliklarni qo‘shish qonunining natijasi.

Relyativistik dinamika: $E = mc^2$

Impuls $p = γ m v$ , energiya $E = γ m c^{2}$ . $v \to c$ da $γ \to \infty$ : protonni $c$ gacha tezlatish uchun cheksiz energiya kerak. Kichik tezliklarda $K = (γ - 1) m c^{2} \approx m v^{2} / 2$ — Nyuton mexanikasi $v ≪ c$ chegarasida to‘g‘ri. Eski darsliklarda $m = γ m_{0}$ — «massaning tezlikka bog‘liqligi» deyiladi; hozirgi fizikada $m$ — invariant (tinchlikdagi) massa, $γ$ esa energiya va impulsda. Tinch turgan jismning energiyasi $E_{0} = m c^{2}$ : yadro reaksiyalarida massa kamayishi energiya bo‘lib ajraladi. Nazariy mexanikada hammasi erkin zarraning Lagranj funksiyasi $L = - m c^{2} \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ dan chiqadi (ta’sir $S = - m c^{2} \int d τ$ — xususiy vaqtga proporsional): impuls $\vec{p} = \partial L / \partial \vec{v} = γ m \vec{v}$ , energiya $E = \vec{p} \cdot \vec{v} - L = γ m c^{2}$ ; $v ≪ c$ da $L \approx - m c^{2} + m v^{2} / 2$ — Nyutondagi kinetik energiya. Elektromagnit maydondagi zaryad uchun $L = - m c^{2} / γ + q \vec{v} \cdot \vec{A} - q φ$ . «Tezlatgich» sahnasida trubkalar uzunligi $L = β λ / 2$ : proton tezlashgan sari ular uzayadi, $v \to c$ da esa deyarli bir xil bo‘lib qoladi. Aylana bo‘ylab tezlashtirilgan zaryad sinxrotron nurlanishi chiqaradi; uning quvvati $γ^{4}$ ga proporsional, shuning uchun elektron halqalarida energiya yo‘qotish katta.

Parchalanish va to‘qnashuvlar

Yopiq (izolyatsiyalangan) tizimda to‘rt-impuls saqlanadi: energiyalar yig‘indisi va impulslar yig‘indisi alohida-alohida. Massa esa saqlanmaydi — saqlanadigan narsa tizimning invariant massasi $M = \sqrt{E^{2} - p^{2} c^{2}} / c^{2}$ . Tinch turgan $π^{0}$ ikki fotonga ajraladi, har biri $m_{π} c^{2} / 2 = 67,5$ MeV. $π^{+} \to μ^{+} ν$ da myuon atigi 4,12 MeV kinetik energiya oladi. Teng massali zarralarning elastik to‘qnashuvida (nishon tinch turganda) Nyutonda ikki zarra 90° burchak ostida tarqaladi, relyativistik holatda burchak 90° dan kichik. $p + p \to p + p + π^{0}$ reaksiyasi qo‘zg‘almas nishonda faqat $K \geq 2 m_{π} c^{2} + m_{π}^{2} c^{2} / 2 m_{p} \approx 279,7$ MeV da boshlanadi: energiyaning bir qismi massa markazi harakatiga sarflanadi.

Maydonlar, kvant va gravitatsiya — model chegaralari

Elektr va magnit maydonlar bitta elektromagnit maydon tenzorining qismlari: boshqa kuzatuvchiga o‘tganda ular aralashadi ( ${\vec{E}}_{⟂}^{'} = γ {(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})}_{⟂}$ ), lekin $\vec{E} \cdot \vec{B}$ va $E^{2} - c^{2} B^{2}$ invariant. Tinch turgan zaryad faqat elektr maydon hosil qiladi; u $\vec{v}$ tezlikda uchayotgan tizimda esa tok ham bor va magnit maydon $\vec{B} = \vec{v} \times \vec{E} / c^{2}$ paydo bo‘ladi. Yonma-yon uchayotgan ikki elektron: hamroh tizimda faqat Kulon itarishi $F_{0}$ , laboratoriyada esa magnit tortishish ham qo‘shiladi va natija $F_{0} / γ$ — qaysi maydon «elektr», qaysi «magnit» ekani kuzatuvchiga bog‘liq. Eynshteynning 1905-yilgi maqolasi aynan shu misoldan — magnit va o‘tkazgichning nisbiy harakatidan boshlanadi. Potensiallar $(φ / c, \vec{A})$ to‘rt-vektor hosil qiladi. $E^{2} = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}$ da $E \to i ℏ \partial_{t}$ , $\vec{p} \to - i ℏ \nabla$ almashtirsak, Kleyn–Gordon tenglamasi chiqadi; Dirak uni birinchi tartibli tenglamaga aylantirdi — undan elektron spini va antizarralar kelib chiqdi (pozitron 1932-yilda topilgan). Ekvivalentlik prinsipi (tezlanish va tortishishni farqlab bo‘lmaydi) umumiy nisbiylikka olib keladi («Qora tuynuklar»). Model: harakat bitta o‘q bo‘ylab, soatlar ideal, detektorda magnit maydon yo‘q, vaqt ko‘rinish uchun sekinlashtirilgan.

Bilasizmi?

1932-yilda J. Kokkroft va E. Uolton tezlatilgan protonlar bilan litiy-7 yadrolarini ikkita geliy yadrosiga parchalashdi. Ajralgan energiya (taxminan 17 MeV) yadrolar massasining kamayishiga $E = m c^{2}$ bo‘yicha mos keldi.
Katta adron kollayderida 2022-yildan protonlar 6,8 TeV energiyaga ega. Bunda $γ \approx 7 250$ va proton yorug‘likdan taxminan atigi 3 m/s sekinroq uchadi.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.