Fizika · Gravitatsiya va koinot · 10-sinf

Maxsus nisbiylik nazariyasi

Nega GPS yo‘ldoshidagi soat Yerdagidan tezroq yuradi?

Vaziyat

Toshkent ko‘chalarida telefoningizdagi navigator o‘rningizni bir necha metr aniqlikda topadi. Buning uchun u 20 000 km balandlikdagi GPS yo‘ldoshlaridan kelgan signallarning yo‘l vaqtini o‘lchaydi: soatdagi 1 mikrosekund xato — 300 m xato degani. Lekin yo‘ldoshdagi atom soati Yerdagi soatdan boshqacha yuradi: u tez harakatlanadi va tortishishi kuchsizroq joyda turadi. Eynshteyn nazariyasi hisobga olinmasa, navigator bir sutkada qancha adashardi?

Mavzu

Maxsus nisbiylik nazariyasi. GPS yo‘ldoshlarida vaqt nega boshqacha o‘tadi

Asosiy tushunchalar

Vaqtning sekinlashishi
Uzunlik qisqarishi
Lorens faktori γ

Formulalar

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}}

Lorens faktori: $v ≪ c$ da $γ \approx 1$ , $v \to c$ da cheksiz o‘sadi.

Δ t = γ Δ τ, L = \frac{L_{0}}{γ}

Vaqtning sekinlashishi (harakatlanayotgan soat ko‘rsatgan $Δ τ$ vaqt Yerdagi $Δ t$ dan $γ$ marta kam) va uzunlikning qisqarishi — faqat harakat yo‘nalishida.

x^{'} = γ (x - v t), t^{'} = γ (t - \frac{v x}{c^{2}})

Lorens almashtirishlari: $v$ tezlikdagi kema tizimidagi koordinata va vaqt. $v ≪ c$ da ular Galiley almashtirishiga aylanadi: $x^{'} = x - v t$ , $t^{'} = t$ .

\frac{Δ τ}{τ} \approx - \frac{v^{2}}{2 c^{2}} + \frac{G M}{c^{2}} (\frac{1}{R_{\oplus︎}} - \frac{1}{r})

GPS soati: tezlik uni sekinlashtiradi (maxsus nisbiylik), kuchsizroq tortishish tezlashtiradi (umumiy nisbiylik).

N = N_{0} e^{- t / (γ τ_{0})}, τ_{0} = 2,197 μ s

Myuonlarning parchalanishi: Yerdan qaraganda ularning o‘rtacha umri $γ τ_{0}$ .

Nazariya

Postulatlar: Galileydan Eynshteyngacha

Galiley nisbiylik prinsipi: tekis harakatlanayotgan (inersial) kemada o‘tkazilgan har qanday mexanik tajriba tinch turgandagi bilan bir xil natija beradi; tezliklar oddiy qo‘shiladi, vaqt esa hamma uchun bir xil deb hisoblangan. Lekin Maksvell elektrodinamikasi yorug‘lik tezligini $c = 1 / \sqrt{ε_{0} μ_{0}}$ deb bashorat qiladi — hech qanday sanoq tizimini ko‘rsatmasdan; bir kuzatuvchi faqat elektr maydon o‘lchagan joyda boshqasi magnit maydonni ham o‘lchaydi. 1887-yilda Maykelson–Morli tajribasi Yerning «efir»ga nisbatan harakatini sezmadi. Eynshteyn (1905) ikki postulat qabul qildi: 1) barcha inersial tizimlarda barcha fizika qonunlari, elektrodinamika ham, bir xil; 2) vakuumda yorug‘lik tezligi har qanday inersial kuzatuvchi uchun bir xil — $c$ , manba harakatiga bog‘liq emas. Galiley bo‘yicha Yerdagi kuzatuvchi kema fotonining tezligini $\sqrt{c^{2} + v^{2}}$ deb o‘lchashi kerak edi (yorug‘lik soati o‘lchovlarida solishtiring), tajriba esa doim $c$ beradi — shuning uchun vaqt va masofa nisbiy bo‘lib chiqadi. Klassik mexanikaning chegarasi: $v ≪ c$ da $γ \approx 1 + v^{2} / 2 c^{2}$ ; GPS yo‘ldoshi tezligida (3,9 km/s) farq atigi $\approx 8 \cdot 10^{- 11}$ , $0,6 c$ da esa 25 %.

Lorens almashtirishlari, bir vaqtlilik, interval

Ikki postulatdan voqea koordinatalarini bir inersial tizimdan ikkinchisiga o‘tkazish qoidasi — Lorens almashtirishlari kelib chiqadi: $x^{'} = γ (x - v t)$ , $t^{'} = γ (t - v x / c^{2})$ , harakatga tik yo‘nalishlarda $y^{'} = y$ , $z^{'} = z$ . Xulosalar: 1) kema soati joyida ( $x^{'} = 0$ ) sodir bo‘lgan ikki voqea orasida kemada $Δ t^{'}$ , Yerda $Δ t = γ Δ t^{'}$ vaqt o‘tadi — vaqtning sekinlashishi; 2) kema uchlarining o‘rnini Yerda bir vaqtda belgilasak, $L = L_{0} / γ$ — uzunlik qisqarishi; 3) kemada bir vaqtda, lekin $Δ x^{'}$ masofada sodir bo‘lgan voqealar Yerda $Δ t = γ v Δ x^{'} / c^{2}$ farq bilan sodir bo‘ladi — bir vaqtlilik nisbiy (Minkovskiy diagrammasi va tezliklarni qo‘shish — «Relyativistik dinamika» tajribasida). Barcha kuzatuvchilar uchun bir xil kattalik — interval $s^{2} = c^{2} Δ t^{2} - Δ x^{2}$ ; soat bilan birga harakatlanuvchi kuzatuvchi uchun $Δ x^{'} = 0$ , demak $s / c$ — soatning xususiy vaqti $τ$ . Yorug‘lik soatining har bir tiqidan keyin natijalar jadvalida tiq voqeasining ikki tizimdagi koordinatalari va interval hisoblanadi. Egizaklar paradoksi: kosmosga uchib qaytgan egizak Yerdagidan yoshroq qaytadi — u burilishda tezlanib, sanoq tizimini almashtirgani uchun ikki egizak teng huquqli emas.

Yorug‘lik soati

Eynshteyn postulati: yorug‘lik tezligi $c$ har qanday inersial kuzatuvchi uchun bir xil. Kema ichida foton ko‘zgular orasida tik yuradi. Yerdagi kuzatuvchi uchun esa ko‘zgular foton yo‘lida siljiydi — foton uzunroq diagonal bosib o‘tadi, lekin tezligi baribir $c$ . Demak, Yerdan qaraganda kemaning har bir «tiq»i uzoqroq davom etadi: $Δ t = γ \cdot 2 L / c$ . Kema ichidagi uchuvchi buni sezmaydi — uning uchun soati, yuragi, kimyoviy reaksiyalari odatdagidek.

Myuonlar Yerga qanday yetib keladi?

Kosmik nurlar atmosferaning yuqori qatlamlarida (≈ 15 km) myuonlar hosil qiladi. Ularning tinch holatdagi umri 2,197 mks — yorug‘lik tezligida ham bu vaqtda atigi ≈ 660 m yo‘l bosiladi. Klassik fizikaga ko‘ra deyarli hech biri Yerga yetmasligi kerak edi. Lekin $0,995 c$ da $γ \approx 10$ : Yerdan qaraganda myuonning umri ≈ 22 mks, va ularning ≈ 10 % i yetib keladi. Myuonning o‘zi uchun esa atmosfera qatlami $γ$ marta yupqa — ikki tavsif bir xil natija beradi.

GPS va ikki nisbiylik

GPS yo‘ldoshi ≈ 3,9 km/s tezlikda uchadi: maxsus nisbiylik uning soatini sutkasiga ≈ 7 mks sekinlashtiradi. Lekin u 20 200 km balandlikda, tortishish potensiali Yerdagidan yuqori joyda: umumiy nisbiylikka ko‘ra soat sutkasiga ≈ 45 mks tezroq yuradi. Jami ≈ +38 mks/sutka. Yorug‘lik 38 mks da ≈ 11 km yo‘l bosadi — tuzatilmasa, navigator har sutkada ≈ 11 km adashgan bo‘lardi. Shuning uchun yo‘ldosh soatlari uchirishdan oldin Yerda 10,23 MHz o‘rniga 10,22999999543 MHz ga sozlanadi. Rossiyaning GLONASS tizimi yo‘ldoshlari ≈ 19 100 km balandlikda taxminan 11 soat 15 minutda bir aylanadi («GLONASS» tugmasi bilan tekshiring): ularning soatlari ham xuddi shunday tuzatiladi. Zamonaviy telefonlar bir nechta tizim (GPS, GLONASS, Galileo, BeiDou) signallaridan birga foydalanadi.

Model soddalashtirishlari

GPS orbitalari doiraviy, formulalar kuchsiz maydon uchun birinchi tartibli; qabul qilgichning Yer aylanishi bilan harakati (ekvatorda ≈ 0,1 mks/sutka) hisobga olinmagan. Barcha myuonlar bir xil tezlikda deyarli tik tushadi va yo‘lda energiya yo‘qotmaydi deb olingan. Ko‘rinish uchun vaqt sekinlashtirilgan yoki tezlashtirilgan: yorug‘lik soatida 1 s = 10 ns, myuonlarda 1 s = 10 mks, GPS da 1 s = 30 min; yo‘ldoshlar, detektor va zarralar masshtabda emas.

Bilasizmi?

Eynshteyn maxsus nisbiylik nazariyasini 1905-yilda «Harakatlanayotgan jismlar elektrodinamikasiga doir» maqolasida e’lon qilgan.
1971-yilda J. Hafele va R. Keating seziy atom soatlarini oddiy yo‘lovchi samolyotlarida Yer atrofida aylantirib chiqdi: sharqqa uchgan soatlar Yerdagidan taxminan 59 ns ortda qoldi, g‘arbga uchganlari taxminan 273 ns oldinga ketdi — nisbiylik nazariyasi bashoratiga mos.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.