Fizika · Gravitatsiya va koinot · 10-sinf

Kepler qonunlari

Sayyora Quyosh atrofida qanday yo‘l bo‘ylab va qanday tezlikda aylanadi?

Vaziyat

XV asrda Samarqanddagi rasadxonada Mirzo Ulug‘bek va uning shogirdlari radiusi taxminan 40 m bo‘lgan ulkan meridian yoyi yordamida Quyosh, Oy va yulduzlarni kuzatgan. Har kuni tush paytida Quyosh nuri yoy markazidagi tirqishdan o‘tib, darajalangan marmar relslarga tushgan — shu dog‘ yil davomida yuqori-pastga siljiydi. Bunday aniq o‘lchashlar keyinchalik osmon mexanikasining poydevori bo‘ldi: XVII asr boshida Iogann Kepler sayyoralar harakatining uchta qonunini topdi. Sayyora Quyosh atrofida qanday yo‘l bo‘ylab va qanday tezlikda harakatlanadi?

Mavzu

Kepler qonunlari. Mirzo Ulug‘bek rasadxonasi va sayyoralar harakati

Asosiy tushunchalar

Ellips va fokus
Teng yuzalar qonuni
T² = a³

Formulalar

r = \frac{a (1 - e^{2})}{1 + e \cos θ}, r_{m i n} = a (1 - e), r_{m a x} = a (1 + e)

Keplerning I qonuni: orbita — ellips, Quyosh uning fokuslaridan birida.

\frac{Δ S}{Δ t} = \frac{L}{2 m} = const

II qonun: radius-vektor teng vaqtlarda teng yuzalar chizadi (impuls momenti $L$ saqlanadi).

T^{2} = \frac{4 π^{2}}{G (M_{⊙} + m)} a^{3} \Rightarrow \frac{T^{2}}{a^{3}} \approx 1 \frac{{yil}^{2}}{{a.b.}^{3}} (m ≪ M_{⊙})

III qonun: davr faqat katta yarim o‘qqa bog‘liq, ekssentrisitetga emas. Aniq shaklda ikki jism massalari yig‘indisi turadi.

v^{2} = G (M_{⊙} + m) (\frac{2}{r} - \frac{1}{a}), μ = \frac{M_{⊙} m}{M_{⊙} + m}

Vis-viva tenglamasi (nisbiy tezlik uchun) va keltirilgan massa $μ$ : ikki jism masalasi bitta jism masalasiga keltiriladi.

h_{t u s h} = 90^{\circ} - φ + δ

Rasadxona: tush paytidagi Quyosh balandligi (Samarqand uchun $φ \approx {39,7}^{\circ}$ , $δ$ — Quyosh og‘ishi, $\pm {23,4}^{\circ}$ ).

Nazariya

I qonun: ellips

Tortishish kuchi $F = G M m / r^{2}$ ta’sirida yopiq orbita ellips bo‘ladi, Quyosh esa uning markazida emas, fokusida turadi. Ekssentrisitet $e$ cho‘ziqlikni bildiradi: $e = 0$ — aylana, $e \to 1$ — juda cho‘ziq ellips (Galley kometasida $e \approx 0,967$ ). Eng yaqin nuqta — perigeliy $q = a (1 - e)$ , eng uzoq — afeliy $Q = a (1 + e)$ . Ikkinchi fokus $F_{2}$ bo‘sh.

II qonun: teng yuzalar

Tortishish kuchi doim Quyosh tomon yo‘nalgan (markaziy kuch), shuning uchun u sayyorani «buramaydi» — impuls momenti $L = m r v_{⟂}$ saqlanadi. Natijada radius-vektor teng vaqtlarda teng yuzalar chizadi: perigeliyda sektor qisqa va keng, afeliyda uzun va ingichka. Shuning uchun sayyora Quyoshga yaqinlashganda tezlashadi. «Sektorlar»ni yoqing — yuzalar ustunli grafikda solishtiriladi.

III qonun va logarifmik grafik

Nyuton tortishish qonunidan $T^{2} = 4 π^{2} a^{3} / G M_{⊙}$ kelib chiqadi. Yillarda va a.b. larda bu shunchaki $T^{2} = a^{3}$ . Sayyoralarning $a$ lari 0,39 dan 30 a.b. gacha — 80 marta farq qiladi, shuning uchun grafik logarifmik shkalada chiziladi: barcha sayyoralar va siz o‘lchagan orbitalar bitta to‘g‘ri chiziqqa tushadi. E’tibor bering: $e$ ni o‘zgartirsangiz, davr o‘zgarmaydi. Bu mexanik o‘xshashlikning natijasi: potensial $U \propto r^{k}$ bo‘lsa, barcha uzunliklarni $λ$ marta kattalashtirganda harakat tenglamasi vaqt $λ^{1 - k / 2}$ marta cho‘zilganda o‘zgarmaydi. Tortishishda $k = - 1$ , demak $T \propto a^{3 / 2}$ ; prujinada ( $k = 2$ ) davr amplitudaga bog‘liq emas.

Ikki jism masalasi va keltirilgan massa

Aslida Quyosh ham qo‘zg‘almas emas: ikkala jism umumiy massa markazi atrofida aylanadi. Nisbiy vektor $\vec{r} = {\vec{r}}_{2} - {\vec{r}}_{1}$ uchun tenglama bitta jism masalasiga aylanadi: massa o‘rnida keltirilgan massa $μ = M m / (M + m)$ , tortuvchi markaz massasi o‘rnida $M + m$ turadi; shuning uchun III qonunda $G (M + m)$ . Quyosh sayyora bilan bir xil davrda, doim unga qarama-qarshi tomonda, katta yarim o‘qi $a m / (M + m)$ bo‘lgan kichik ellips chizadi. Yupiter uchun bu ≈ 0,005 a.b. — Quyosh radiusidan biroz katta: massa markazi Quyosh sirtidan sal tashqarida. Quyoshning bu «tebranishi» (≈ 12,5 m/s) uzoq yulduzlardagi sayyoralarni topish usullaridan biri. «Ikki jism» bo‘limida $m$ ni oshiring: $m = M$ da ikki yulduz bir xil ellipslar chizadi.

Effektiv potensial, virial teorema, Gamilton–Yakobi

Markaziy maydonda impuls momenti $L$ saqlanadi va radial harakat bir o‘lchovli bo‘lib qoladi: $E = \frac{1}{2} μ {\dot{r}}^{2} + U_{e f} (r)$ , $U_{e f} = \frac{L^{2}}{2 μ r^{2}} - \frac{G M m}{r}$ . Birinchi had — markazdan qochma to‘siq. Jism faqat $E \geq U_{e f}$ bo‘lgan sohada yura oladi: $E < 0$ da u perigeliy va afeliy orasida «chuqurda» tebranadi (ellips), $E \geq 0$ da cheksizlikka ketadi. Grafikda chuqur va $E$ chizig‘ini ko‘ring. Virial teorema: $U \propto 1 / r$ da davr bo‘yicha o‘rtachalar $2 ⟨ K ⟩ = - ⟨ U ⟩$ , ya’ni $⟨ K ⟩ = - E$ — har bir aylanishdan keyin natijalar jadvalida tekshiriladi. Gamilton–Yakobi usulida ta’sir funksiyasi o‘zgaruvchilarga ajraladi: $S = - E t + L φ + \int \sqrt{2 μ (E - U_{e f} (r))} d r$ — ildiz ostida xuddi shu effektiv potensial; undan orbita tenglamasi $r (φ)$ kelib chiqadi (umumiy usul — «Gamilton mexanikasi» tajribasida).

Model va rasadxona

Simulyatsiya nisbiy vektor uchun Nyuton qonunlarini bevosita integrallaydi (tezlik-Verle usuli, qadami Quyoshga yaqinlashganda maydalanadi); $m = 0$ da Quyosh qo‘zg‘almas, boshqa sayyoralar ta’siri hisobga olinmagan. Tortishish doimiysi $G$ ni o‘lchagan Kavendish tajribasi — «Butun olam tortishish qonuni» tajribasida. Kepler qonunlari bu yerda kiritilmagan — ular hisobdan o‘zi chiqadi. Rasadxona modeli soddalashtirilgan rekonstruksiya; meridian yoyidagi dog‘ning balandligi $h = 90^{\circ} - φ + δ$ formulasi bo‘yicha Quyoshning yillik harakatidan hisoblanadi. Vaqt tezlashtirilgan: 1× da 1 s = 0,1 yil.

Bilasizmi?

Ulug‘bekning «Ziji Sultoniy» jadvallarida 1018 ta yulduzning o‘rni keltirilgan. U yulduz yilini 365 kun 6 soat 10 min 8 s deb o‘lchagan — bu hozirgi qiymatdan taxminan bir daqiqagina ko‘p.
Kepler birinchi ikki qonunini 1609-yilda «Yangi astronomiya» asarida, uchinchisini 1619-yilda «Olam uyg‘unligi» asarida e’lon qilgan. U Tixo Brage o‘lchagan Mars o‘rinlaridan foydalangan.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.