Физика · Гравитация и космос · 10 класс

Специальная теория относительности

Почему часы на спутнике GPS идут быстрее, чем на Земле?

Ситуация

На улицах Ташкента навигатор в вашем телефоне определяет ваше положение с точностью до нескольких метров. Для этого он измеряет время прохождения сигналов от спутников GPS, летящих на высоте 20 000 км: ошибка часов в 1 микросекунду — это ошибка в 300 м. Но атомные часы на спутнике идут иначе, чем на Земле: он быстро движется и находится там, где гравитация слабее. Насколько навигатор ошибался бы за одни сутки, если не учитывать теорию Эйнштейна?

Тема

Специальная теория относительности. Почему на спутниках GPS время идёт иначе

Ключевые понятия

Замедление времени
Сокращение длины
Лоренц-фактор γ

Формулы

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}}

Фактор Лоренца: при $v ≪ c$ $γ \approx 1$ , при $v \to c$ он неограниченно растёт.

Δ t = γ Δ τ, L = \frac{L_{0}}{γ}

Замедление времени (время $Δ τ$ на движущихся часах в $γ$ раз меньше времени $Δ t$ на Земле) и сокращение длины — только вдоль направления движения.

x^{'} = γ (x - v t), t^{'} = γ (t - \frac{v x}{c^{2}})

Преобразования Лоренца: координата и время в системе корабля, движущегося со скоростью $v$ . При $v ≪ c$ они переходят в преобразования Галилея: $x^{'} = x - v t$ , $t^{'} = t$ .

\frac{Δ τ}{τ} \approx - \frac{v^{2}}{2 c^{2}} + \frac{G M}{c^{2}} (\frac{1}{R_{\oplus︎}} - \frac{1}{r})

Часы GPS: скорость их замедляет (специальная теория относительности), более слабая гравитация ускоряет (общая теория относительности).

N = N_{0} e^{- t / (γ τ_{0})}, τ_{0} = 2,197 μ s

Распад мюонов: с точки зрения Земли их среднее время жизни равно $γ τ_{0}$ .

Теория

Постулаты: от Галилея до Эйнштейна

Принцип относительности Галилея: любой механический опыт, проведённый на равномерно движущемся (инерциальном) корабле, даёт тот же результат, что и в покое; скорости складываются обычным образом, а время считалось одинаковым для всех. Но электродинамика Максвелла предсказывает скорость света $c = 1 / \sqrt{ε_{0} μ_{0}}$ — не указывая никакой системы отсчёта; там, где один наблюдатель измерил только электрическое поле, другой измерит и магнитное. В 1887 году опыт Майкельсона–Морли не обнаружил движения Земли относительно «эфира». Эйнштейн (1905) принял два постулата: 1) во всех инерциальных системах все законы физики, и электродинамика тоже, одинаковы; 2) скорость света в вакууме одинакова для любого инерциального наблюдателя — $c$ , и не зависит от движения источника. По Галилею наблюдатель на Земле должен был бы измерить скорость фотона корабля как $\sqrt{c^{2} + v^{2}}$ (сравните в измерениях световых часов), а опыт всегда даёт $c$ — поэтому время и расстояние оказываются относительными. Граница классической механики: при $v ≪ c$ $γ \approx 1 + v^{2} / 2 c^{2}$ ; при скорости спутника GPS (3,9 км/с) разница всего $\approx 8 \cdot 10^{- 11}$ , а при $0,6 c$ — уже 25 %.

Преобразования Лоренца, одновременность, интервал

Из двух постулатов следует правило пересчёта координат события из одной инерциальной системы в другую — преобразования Лоренца: $x^{'} = γ (x - v t)$ , $t^{'} = γ (t - v x / c^{2})$ , в направлениях, перпендикулярных движению, $y^{'} = y$ , $z^{'} = z$ . Выводы: 1) между двумя событиями, произошедшими в одном месте на корабле ( $x^{'} = 0$ ), на корабле проходит время $Δ t^{'}$ , а на Земле — $Δ t = γ Δ t^{'}$ — замедление времени; 2) если отметить положение концов корабля на Земле одновременно, то $L = L_{0} / γ$ — сокращение длины; 3) события, одновременные на корабле, но разнесённые на расстояние $Δ x^{'}$ , на Земле происходят с разницей $Δ t = γ v Δ x^{'} / c^{2}$ — одновременность относительна (диаграмма Минковского и сложение скоростей — в эксперименте «Релятивистская динамика»). Одинаковая для всех наблюдателей величина — интервал $s^{2} = c^{2} Δ t^{2} - Δ x^{2}$ ; для наблюдателя, движущегося вместе с часами, $Δ x^{'} = 0$ , поэтому $s / c$ — собственное время $τ$ часов. После каждого тика световых часов в таблице результатов вычисляются координаты события тика в двух системах и интервал. Парадокс близнецов: близнец, слетавший в космос и вернувшийся, оказывается моложе земного — при развороте он ускорялся и менял систему отсчёта, поэтому близнецы неравноправны.

Световые часы

Постулат Эйнштейна: скорость света $c$ одинакова для любого инерциального наблюдателя. Внутри корабля фотон идёт между зеркалами вертикально. Для земного наблюдателя зеркала смещаются, пока летит фотон, — он проходит более длинную диагональ, но его скорость всё равно $c$ . Значит, с точки зрения Земли каждый «тик» корабля длится дольше: $Δ t = γ \cdot 2 L / c$ . Лётчик внутри корабля этого не замечает — у него часы, сердце, химические реакции идут как обычно.

Как мюоны долетают до Земли?

Космические лучи рождают в верхних слоях атмосферы (≈ 15 км) мюоны. Время их жизни в покое — 2,197 мкс; даже со скоростью света за это время проходится лишь ≈ 660 м. По классической физике почти ни один не должен был бы долететь до Земли. Но при $0,995 c$ $γ \approx 10$ : с точки зрения Земли жизнь мюона ≈ 22 мкс, и долетает ≈ 10 % из них. С точки зрения самого мюона слой атмосферы в $γ$ раз тоньше — оба описания дают один результат.

GPS и две теории относительности

Спутник GPS летит со скоростью ≈ 3,9 км/с: по специальной теории относительности его часы замедляются на ≈ 7 мкс в сутки. Но он находится на высоте 20 200 км, где гравитационный потенциал выше, чем на Земле: по общей теории относительности часы идут быстрее на ≈ 45 мкс в сутки. Итого ≈ +38 мкс/сут. За 38 мкс свет проходит ≈ 11 км — без поправки навигатор каждые сутки ошибался бы на ≈ 11 км. Поэтому часы спутников перед запуском настраивают на Земле не на 10,23 МГц, а на 10,22999999543 МГц. Спутники российской системы ГЛОНАСС на высоте ≈ 19 100 км делают один оборот примерно за 11 ч 15 мин (проверьте кнопкой «GLONASS»): их часы поправляют так же. Современные телефоны используют сигналы сразу нескольких систем (GPS, ГЛОНАСС, Galileo, BeiDou).

Упрощения модели

Орбиты GPS круговые, формулы — первого порядка для слабого поля; движение приёмника вместе с вращением Земли (на экваторе ≈ 0,1 мкс/сут) не учтено. Принято, что все мюоны падают почти вертикально с одной скоростью и не теряют энергию по пути. Для наглядности время замедлено или ускорено: в световых часах 1 с = 10 нс, у мюонов 1 с = 10 мкс, в GPS 1 с = 30 мин; спутники, детектор и частицы нарисованы не в масштабе.

Знаете ли вы?

Эйнштейн опубликовал специальную теорию относительности в 1905 году в статье «К электродинамике движущихся тел».
В 1971 году Дж. Хафеле и Р. Китинг облетели Землю на обычных пассажирских самолётах с цезиевыми атомными часами: часы, летевшие на восток, отстали от земных примерно на 59 нс, летевшие на запад ушли вперёд примерно на 273 нс — в согласии с предсказанием теории относительности.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Солнечная система — 7 класс
Масштабы Вселенной — 9 класс
Пушка Ньютона: искусственный спутник — 10 класс
Закон всемирного тяготения — 10 класс
Релятивистская динамика — 10 класс
Законы Кеплера — 10 класс
Физика звёзд — 1 курс
Расширяющаяся Вселенная — 1 курс
Чёрные дыры — 4 курс