Физика · Гравитация и космос · 10 класс

Пушка Ньютона: искусственный спутник

С какой скоростью нужно бросить тело, чтобы оно не упало на Землю?

Ситуация

Исаак Ньютон представлял это так: поставим на вершину высокой горы пушку и выстрелим горизонтально. Ядро, выпущенное медленно, упадёт близко, быстрее — дальше. Если скорость достаточно велика, поверхность Земли будет «убегать» из-под ядра, и оно никогда не упадёт на землю — станет искусственным спутником. Именно так сегодня летают МКС, GPS и телевизионные спутники.

Тема

Всемирное тяготение, космические скорости. Пушка Ньютона, МКС и геостационарный спутник

Ключевые понятия

Закон всемирного тяготения
Космические скорости
Законы Кеплера

Формулы

F = G \frac{M m}{r^{2}}

Закон всемирного тяготения: сила обратно пропорциональна квадрату расстояния.

v_{1} = \sqrt{\frac{G M}{r}}

Первая космическая скорость (скорость движения по круговой орбите): сила тяготения создаёт центростремительное ускорение, $G M / r^{2} = v^{2} / r$ .

v_{2} = \sqrt{\frac{2 G M}{r}} = \sqrt{2} v_{1}

Вторая космическая скорость (скорость убегания): полная энергия равна нулю.

E = \frac{v^{2}}{2} - \frac{G M}{r}, e = \sqrt{1 + \frac{2 E L^{2}}{{(G M)}^{2}}}

Удельная энергия $E$ и момент импульса $L = | \vec{r} \times \vec{v} |$ определяют форму орбиты (эксцентриситет $e$ ).

T = 2 π \sqrt{\frac{a^{3}}{G M}}

Третий закон Кеплера: период зависит от большой полуоси.

Теория

Спутник всё время падает

На тело на орбите действует только сила тяготения — оно свободно падает. Но его горизонтальная скорость так велика, что расстояние, на которое оно падает к Земле за одну секунду (≈ 4,9 м), равно искривлению поверхности Земли («уходу» её вниз). Поэтому космонавты на МКС находятся в невесомости: они падают вместе со спутником.

Энергия определяет форму орбиты

$E < 0$ — замкнутый эллипс (окружность — частный случай). $E = 0$ — парабола, $E > 0$ — гипербола: тело полностью удаляется от Земли. Если увеличить скорость сверх $v_{1}$ , эллипс вытягивается; при достижении $v_{2}$ орбита «раскрывается».

Второй закон Кеплера

Приближаясь к Земле, спутник ускоряется, удаляясь — замедляется: радиус-вектор за равные промежутки времени описывает равные площади. Это следствие сохранения момента импульса $L = r v_{⟂}$ . Включите кнопку «Второй закон Кеплера» и сравните секторы.

Третья космическая скорость и космические аппараты

На орбите Земли (1 а. е.) скорость убегания из поля тяготения Солнца равна $\sqrt{2} \cdot 29,8 \approx 42,1$ км/с. Сама Земля движется со скоростью 29,8 км/с, поэтому аппарату, запущенному по направлению движения Земли, после выхода из поля тяготения Земли достаточно сохранить скорость $v_{\infty} \approx 12,3$ км/с. Из закона сохранения энергии $v_{3} = \sqrt{v_{\infty}^{2} + v_{2}^{2}} \approx 16,65$ км/с — это третья космическая скорость (от поверхности Земли, без учёта вращения Земли и сопротивления воздуха). В симуляции при уходе от Земли показывается «скорость на бесконечности» $v_{\infty}$ — сравните её с 12,3 км/с. Межпланетные аппараты включают двигатель ненадолго, затем свободно летят вокруг Солнца по коническому сечению; набор скорости при пролёте мимо планеты — гравитационный манёвр: «Вояджер-1» и «Вояджер-2», пролетев мимо Юпитера и Сатурна, достигли скорости, достаточной для выхода из Солнечной системы.

Геостационарная орбита

Если период обращения равен периоду вращения Земли вокруг своей оси (звёздные сутки — 23 ч 56 мин 4 с), спутник над экватором с Земли кажется «застывшим» на одном месте. Радиус такой орбиты $r = \sqrt[3]{G M T^{2} / 4 π^{2}} \approx 42 164$ км, то есть высота над поверхностью 35 786 км.

Знаете ли вы?

МКС летит со скоростью около 7,66 км/с и делает один оборот вокруг Земли примерно за 92 минуты — экипаж видит восход Солнца 15–16 раз в сутки.
Первая космическая скорость для поверхности Земли ≈ 7,9 км/с, вторая (убегания) ≈ 11,2 км/с. Мысленный опыт Ньютона «пушка на горе» изображён с рисунком в его труде «Система мира».

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Солнечная система — 7 класс
Масштабы Вселенной — 9 класс
Специальная теория относительности — 10 класс
Закон всемирного тяготения — 10 класс
Релятивистская динамика — 10 класс
Законы Кеплера — 10 класс
Физика звёзд — 1 курс
Расширяющаяся Вселенная — 1 курс
Чёрные дыры — 4 курс