Физика · Электричество и магнетизм · 3 курс

Векторные поля: div и rot

Где в реке закрутится лопастное колесо и куда сойдётся ветер циклона?

Ситуация

Вы стоите на берегу Чирчика: посреди реки вода течёт быстро, у берега медленно, а плывущие листья медленно вращаются. На карте погоды ветер закручивается вокруг циклона и стекается к центру, летом в пустыне пыльный вихрь поднимает пыль к небу. По какому бы пути лыжник ни спускался со склона Чимгана, перепад высот один и тот же — но скорость внизу разная. Где в поле находится «источник», где «вихрь» — и как это измерить?

Тема

Векторные поля: градиент, дивергенция, ротор. Течение реки и карта ветров: источники, вихри, теоремы Гаусса и Стокса

Ключевые понятия

Градиент, дивергенция, ротор
Теоремы Гаусса и Стокса
Потенциальное и вихревое поле

Формулы

\nabla U = (\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}), \vec{F} = - \nabla U

Градиент — вектор, направленный в сторону самого быстрого роста скалярного поля; его длина — скорость роста в этом направлении. Консервативная сила противоположна градиенту потенциальной энергии.

div \vec{v} = \nabla \cdot \vec{v} = \lim_{V \to 0} \frac{1}{V} \oint_{S} \vec{v} \cdot d \vec{S}

Дивергенция — отношение потока, выходящего из малого объёма, к этому объёму (плотность источников).

{(rot \vec{v})}_{n} = \lim_{S \to 0} \frac{1}{S} \oint_{L} \vec{v} \cdot d \vec{l}

Ротор — отношение циркуляции по малому контуру к площади. Маленькая вертушка вращается с угловой скоростью $ω = \frac{1}{2} {(rot \vec{v})}_{n}$ .

\oint_{S} \vec{v} \cdot d \vec{S} = \int_{V} \nabla \cdot \vec{v} d V

Теорема Остроградского–Гаусса: поток через замкнутую поверхность равен интегралу дивергенции по объёму внутри поверхности (сумме источников).

\oint_{L} \vec{v} \cdot d \vec{l} = \int_{S} (\nabla \times \vec{v}) \cdot d \vec{S}

Теорема Стокса. В полярных координатах ${(\nabla \times \vec{v})}_{z} = \frac{1}{r} \partial_{r} (r v_{θ}) - \frac{1}{r} \partial_{θ} v_{r}$ и $\nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{r} \partial_{r} (r v_{r}) + \frac{1}{r} \partial_{θ} v_{θ}$ ; точечный источник: $\nabla \cdot (Q \hat{r} / 2 π r) = Q δ (\vec{r})$ .

Теория

Векторное поле, градиент и консервативная сила

Если каждой точке сопоставлен вектор — это векторное поле (скорость реки, ветер). Если каждой точке сопоставлено число — скалярное поле (высота, температура, давление). Градиент скалярного поля $\nabla h$ направлен в сторону самого крутого подъёма, его длина — крутизна; он перпендикулярен горизонталям (линиям равной высоты). В режиме «Чимган» фиолетовые стрелки направлены вверх, красные — $- m g \nabla h$ (на пологом склоне близко к составляющей силы тяжести вдоль склона) — вниз. Потенциальная энергия и сила связаны соотношением $\vec{F} = - \nabla U$ , поэтому работа силы тяжести зависит только от начальной и конечной высоты: $\oint \vec{F} \cdot d \vec{l} = 0$ , $rot \vec{F} = 0$ — это консервативная сила. Сила трения неконсервативна (диссипативна): её работа зависит от длины пути и превращает механическую энергию в теплоту. Сохранение энергии — в эксперименте «Американские горки».

Дивергенция: источник и сток

$div \vec{v} = \partial v_{x} / \partial x + \partial v_{y} / \partial y (+ \partial v_{z} / \partial z)$ — поток, выходящий из единицы объёма. Маленький квадрат в режиме «Река» измеряет это по определению: чем меньше квадрат, тем ближе $Φ / S \to div \vec{v}$ . Для несжимаемой воды (река, водоворот) $div \vec{v} = 0$ : сколько входит, столько и выходит. Для «Родника» $\vec{v} = k (x, y)$ $div \vec{v} = 2 k$ — вода бьёт со дна. В погоде у земли воздух стекается к циклону ( $div < 0$ , воздух поднимается и образует облака) и растекается из антициклона ( $div > 0$ , воздух опускается, небо ясное).

Ротор: вихрь и вертушка

${(rot \vec{v})}_{z} = \partial v_{y} / \partial x - \partial v_{x} / \partial y$ — локальное вращение поля: маленькая вертушка или лист вращаются с $ω = \frac{1}{2} rot \vec{v}$ . При вращении как твёрдого тела $\vec{v} = Ω (- y, x)$ получаем $rot \vec{v} = 2 Ω$ . Два неожиданных случая: (1) в прямой реке у берега скорость меняется поперёк течения — $rot \vec{v} \neq 0$ , вертушка вращается; (2) вне ядра вихря ( $v_{θ} = Γ / 2 π r$ ) вода течёт по окружности, но $rot \vec{v} = 0$ — это потенциальный вихрь (модель Рэнкина). Тензор градиента скорости в точке $J_{i j} = \partial v_{i} / \partial x_{j}$ : его след $tr J = div \vec{v}$ , а антисимметричная часть даёт вращение: $J_{21} - J_{12} = rot \vec{v}$ ; симметричная часть — скорость деформации.

Теоремы Гаусса и Стокса

В интегралах работает векторная алгебра: поток записывается через скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$ , циркуляция — $\vec{v} \cdot d \vec{l}$ , а ротор — как «векторное произведение» $\nabla \times \vec{v}$ . Теорема Остроградского–Гаусса: поток через замкнутую поверхность равен интегралу дивергенции по объёму внутри поверхности. Проверьте это на кубе в режиме «Вихрь»: для несжимаемого воздуха ( $div = 0$ ) где бы ни стоял куб, $Φ = 0$ — воздух, вошедший сбоку, выходит сверху; для расширяющегося воздуха ( $div \vec{v} = 3 k$ ) $Φ = 3 k V$ не зависит от положения куба. Теорема Стокса: циркуляция по контуру равна потоку ротора через поверхность, натянутую на контур. В ветре, усиливающемся с высотой, $rot \vec{v}$ горизонтален: в горизонтальном кольце $Γ = 0$ , а в вертикальном кольце, нормаль которого направлена вдоль ротора, $Γ$ наибольшая. Обе теоремы связывают интегральную и дифференциальную формы уравнений Максвелла в электродинамике — в экспериментах «Электрическое поле и потенциал» и «Магнитное поле».

Криволинейные координаты и дельта-функция Дирака

Вращающиеся поля удобно записывать в полярных (цилиндрических) координатах: формулы div и rot для $v_{r}$ и $v_{θ}$ — в разделе «Основные формулы» (под теоремой Стокса). Например, при $v_{θ} = Γ / 2 π r$ величина $r v_{θ}$ постоянна, значит, rot = 0. Для точечного источника $\vec{v} = Q \hat{r} / 2 π r$ при $r \neq 0$ div = 0, но поток через любой охватывающий его контур равен $Q$ : дивергенция сосредоточена в одной точке, $div \vec{v} = Q δ (x) δ (y)$ . В режиме «Ветер» уменьшайте радиус центра $a$ : div и rot сосредоточиваются в центре, а поток и циркуляция не меняются — это и есть дельта-функция. Разложение поля по гармоникам (ряд Фурье для периодического, иначе интеграл Фурье) — в эксперименте «Фурье: спектр звука».

Что упрощает модель

Профиль скорости в реке параболический (ламинарная идеализация; в настоящей реке течение турбулентное, а профиль более плоский), рассматривается только двумерное течение на поверхности; листья и вертушка течение не искажают. Погода — модель источников-вихрей с гауссовым ядром, карта не отражает реальную географию, динамика Кориолиса не рассчитывалась. Вихрь — вихрь Бюргерса (точное решение уравнений Навье–Стокса), приземный слой не учитывается. Гора — гауссов рельеф, похожий на Чимган (не реальная карта), лыжник — материальная точка, $μ$ постоянна, сопротивление воздуха $k v^{2}$ ( $k$ = 0,22 кг/м, можно отключить). Интегралы вычисляются численно (Гаусса–Лежандра и по методу средней точки); разница между двумя сторонами обычно меньше 0,1 %, а когда контур проходит через тонкий центр (малое $a$ ), она может быть больше.

Знаете ли вы?

Общее доказательство теоремы о дивергенции дал в 1826 году М. В. Остроградский, изучая распространение тепла; частные случаи доказали Гаусс и Грин. Поэтому её называют также теоремой Остроградского–Гаусса.
Теорема Стокса впервые встречается в письме Уильяма Томсона (лорда Кельвина) Стоксу от 2 июля 1850 года; Стокс в 1854 году предложил её как вопрос на экзамене на премию Смита в Кембридже.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.