Физика · Электричество и магнетизм · 11 класс

Переменный ток и RLC

На розетке написано 220 В, но напряжение доходит до 311 В — как так?

Ситуация

На розетке в вашем доме написано «220 В, 50 Гц». Но если подключить осциллограф, вы увидите, что напряжение 50 раз в секунду меняется от +311 В до −311 В. Такой ток создаёт генератор на ГЭС или ТЭС: катушка, вращающаяся в магнитном поле. Чайнику такой ток безразличен, конденсатор как будто «пропускает» его, а катушка «сжимает»; а на определённой частоте напряжения в цепи могут в несколько раз превысить напряжение источника. Что означает 220 В и какое сопротивление оказывают переменному току катушка и конденсатор?

Тема

Переменный ток и RLC-цепь. Генератор ГЭС, 220 В в доме и резонанс напряжений

Ключевые понятия

Действующее значение
Реактивное сопротивление
Резонанс напряжений

Формулы

e = N B S ω \sin ω t, U = \frac{U_{m}}{\sqrt{2}}

ЭДС генератора и действующее (эффективное) значение: $311 / \sqrt{2} \approx 220$ В.

X_{L} = ω L, X_{C} = \frac{1}{ω C}

Индуктивное и ёмкостное сопротивления; $ω = 2 π ν$ .

I = \frac{U}{Z}, Z = \sqrt{R^{2} + {(X_{L} - X_{C})}^{2}}, tg φ = \frac{X_{L} - X_{C}}{R}

Закон Ома и полное сопротивление (импеданс) для последовательной цепи RLC.

ν_{0} = \frac{1}{2 π \sqrt{L C}}

Резонансная частота: $X_{L} = X_{C}$ , $Z = R$ , ток наибольший (при последовательном соединении — резонанс напряжений, при параллельном — резонанс токов).

P = U I \cos φ, \cos φ = \frac{R}{Z}

Средняя мощность переменного тока и коэффициент мощности.

Теория

Как получают переменный ток

Поток через рамку, вращающуюся с угловой скоростью $ω$ в однородном магнитном поле, $Φ = B S \cos ω t$ периодически меняется, и по закону Фарадея индуцируется ЭДС: $e = - N d Φ / d t = N B S ω \sin ω t$ . ЭДС наибольшая в момент, когда поток равен нулю, — когда плоскость рамки параллельна линиям поля. Концы рамки соединяются с внешней цепью через контактные кольца и щётки. Если вместо колец поставить разрезное кольцо — коллектор, — то каждые пол-оборота подключение меняется на обратное, и ток становится однонаправленным (пульсирующим) — это генератор постоянного тока. На электростанциях же вращается магнит, а обмотки неподвижны; для 50 Гц двухполюсный ротор делает 3 000 оборотов в минуту. Другой способ получения энергии — МГД-генератор: ЭДС индуцируется в раскалённой плазме, текущей через магнитное поле (подробнее — в эксперименте «Плазма — четвёртое состояние»).

Амплитуда и действующее значение

Напряжение и ток меняются в каждый момент, поэтому используют действующее (эффективное) значение: значение постоянного тока, который выделяет в резисторе столько же тепла, сколько переменный. Так как $⟨ \sin^{2} ⟩ = 1 / 2$ , то $U = U_{m} / \sqrt{2}$ , $I = I_{m} / \sqrt{2}$ . Вольтметры и амперметры показывают именно это значение: 220 В в сети — действующее значение, амплитуда $220 \sqrt{2} \approx 311$ В. Лампочка достигает наибольшей яркости 100 раз в секунду (в каждом полупериоде).

R, L и C в цепи переменного тока

На активном сопротивлении $R$ ток и напряжение совпадают по фазе, энергия превращается в тепло. В катушке ЭДС самоиндукции противодействует изменению тока: индуктивное сопротивление $X_{L} = ω L$ , ток отстаёт от напряжения на $90 °$ (в реальной катушке из-за сопротивления обмотки — чуть меньше $90 °$ ). Через конденсатор заряды не проходят, но он перезаряжается каждый полупериод: ёмкостное сопротивление $X_{C} = 1 / (ω C)$ , ток опережает напряжение на $90 °$ . На постоянном токе ( $ν = 0$ ) катушка — это лишь сопротивление провода, а конденсатор — разрыв цепи. На $X_{L}$ и $X_{C}$ энергия в среднем не расходуется — она ходит туда и обратно в поле, поэтому они называются реактивными сопротивлениями. Лабораторная работа: для катушки без сердечника измерьте $R_{L} = U / I$ на постоянном токе и $Z = U / I$ на переменном; $X_{L} = \sqrt{Z^{2} - R_{L}^{2}}$ , $L = X_{L} / (2 π ν)$ .

Векторная диаграмма и закон Ома

Каждую синусоидальную величину изобразим вектором (фазором), вращающимся с угловой скоростью $ω$ : его проекция на вертикальную ось — мгновенное значение. В последовательной цепи ток общий, поэтому ${\vec{U}}_{R}$ рисуют вдоль тока, ${\vec{U}}_{L}$ — на $90 °$ впереди, ${\vec{U}}_{C}$ — на $90 °$ позади; напряжение источника — их векторная сумма: $U = \sqrt{U_{R}^{2} + {(U_{L} - U_{C})}^{2}}$ . Отсюда закон Ома для переменного тока $I = U / Z$ и полное сопротивление $Z = \sqrt{R^{2} + {(X_{L} - X_{C})}^{2}}$ . В комплексной записи $Z = R + i (X_{L} - X_{C})$ — импеданс, его аргумент — сдвиг фаз $φ$ .

Резонанс

При $X_{L} = X_{C}$ , то есть на частоте $ν_{0} = 1 / (2 π \sqrt{L C})$ , полное сопротивление последовательной цепи наименьшее ( $Z = R$ ), ток наибольший и совпадает по фазе с напряжением. Напряжения на катушке и конденсаторе гасят друг друга, но каждое из них может быть в $Q = X_{L} / R$ раз больше напряжения источника — резонанс напряжений (радиоконтуры так выбирают станцию — «Колебательный контур (LC)»). Если L и C соединить параллельно, то наоборот: токи в ветвях велики и противоположны, а общий ток наименьший — резонанс токов. Лабораторная работа: меняя частоту, получите кривую $I (ν)$ и сравните её максимум с теоретическим $ν_{0}$ .

Мощность, трёхфазный ток, выпрямление

Мгновенная мощность $p = u i$ тоже меняется; её среднее $P = U I \cos φ$ — скорость совершения работы (Вт). $S = U I$ — полная мощность (В·А), $\cos φ = P / S$ — коэффициент мощности. Двигатели — индуктивная нагрузка: при малом $\cos φ$ для той же полезной мощности из сети течёт больший ток, и провода нагреваются сильнее. Параллельный конденсатор компенсирует реактивный ток и приближает $\cos φ$ к 1. В трёхфазной системе три ЭДС сдвинуты друг относительно друга на $120 °$ , их сумма в любой момент равна нулю; фазное напряжение 220 В, напряжение между фазами (линейное) $220 \sqrt{3} \approx 380$ В. При передаче на большие расстояния напряжение повышают трансформаторами — в эксперименте «Линия электропередачи». Выпрямление: диод пропускает ток в одном направлении; один диод отсекает полупериод (среднее $U_{m} / π$ ), диодный мост направляет в одну сторону оба полупериода ( $2 U_{m} / π$ ), а конденсатор сглаживает пульсации. Циклотрон тоже использует переменное напряжение: частица каждые пол-оборота проходит через ускоряющий зазор — в эксперименте «Ускоритель заряженных частиц».

Знаете ли вы?

В Узбекистане, во многих странах Европы и Азии частота сети 50 Гц, а в США, Канаде и части Японии — 60 Гц.
Систему трёхфазного тока разработал в 1888–1891 годах русский инженер Михаил Доливо-Добровольский; в 1891 году трёхфазный ток был передан по линии Лауфен — Франкфурт на расстояние около 175 км.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.