Физика · Электричество и магнетизм · 10 класс

Плазма — четвёртое состояние

Как газ в канале молнии и в неоновой лампе превращается в проводящую ток плазму?

Ситуация

Во время летней грозы канал молнии мгновенно нагревается примерно до 30 000 К. А в трубке неоновой рекламы на вечерней улице электроны ионизируют разреженный газ и превращают его в светящуюся плазму. Солнце, звёзды, межзвёздный газ и ионосфера Земли — тоже плазма: в таком состоянии находится большая часть видимого вещества Вселенной. В токамаках же пытаются удержать магнитным полем плазму в сто миллионов градусов, чтобы получать термоядерную энергию. Почему ионизированный газ обладает совсем другими свойствами, чем обычный, и как удержать его в «магнитной клетке»?

Тема

Плазма — четвёртое состояние вещества. Неоновая лампа, канал молнии и колебания плазмы

Ключевые понятия

Дебаевское экранирование
Плазменная частота
Ларморовское вращение и дрейф

Формулы

\frac{n_{i} n_{e}}{n_{0}} = \frac{2 g_{i}}{g_{0}} (\frac{2 π m_{e} k T}{h^{2}})^{3 / 2} e^{- E_{i} / k T}

Уравнение Саха: степень ионизации газа в тепловом равновесии.

λ_{D} = \sqrt{\frac{ε_{0} k T_{e}}{n_{e} e^{2}}}, N_{D} = \frac{4 π}{3} n_{e} λ_{D}^{3} ≫ 1

Радиус Дебая и число Дебая: если в сфере много частиц — плазма идеальная.

f_{p} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{n_{e} e^{2}}{ε_{0} m_{e}}} \approx 8,98 \sqrt{n_{e}} Hz

Плазменная (ленгмюровская) частота; $n_{e}$ — в м⁻³.

r_{L} = \frac{m v_{⟂}}{| q | B}, {\vec{v}}_{E} = \frac{\vec{E} \times \vec{B}}{B^{2}}, \sin^{2} θ_{l c} = \frac{1}{R_{m}}

Радиус Лармора, E×B-дрейф (не зависит от заряда) и конус потерь магнитной ловушки.

β = \frac{p}{B^{2} / 2 μ_{0}}, v_{A} = \frac{B}{\sqrt{μ_{0} ρ}}, n T τ_{E} \geq 3 \cdot 10^{21} {кэВ·с/м}^{3}

Отношение давления плазмы к магнитному, скорость Альфвена, критерий Лоусона для D–T-синтеза.

Теория

Что такое плазма: ионизация и квазинейтральность

Плазма — газ, состоящий из свободных электронов и ионов, но в целом нейтральный (квазинейтральный, $n_{e} \approx n_{i}$ ). Если газ нагреть или если в электрическом поле по атомам ударят ускоренные электроны, атомы ионизируются; электрон и ион встречаются и снова соединяются — это рекомбинация. В тепловом равновесии их соотношение определяется уравнением Саха: степень ионизации экспоненциально зависит от температуры и растёт по мере уменьшения плотности. В лаборатории плазму получают в газовых разрядах: несамостоятельных, в которых ток идёт, только пока работает внешний ионизатор, и самостоятельных, поддерживающих ионизацию сами (тлеющий, дуговой, искровой, коронный); а также мощным лазером, СВЧ- и индукционным нагревом. Термоэлектронная эмиссия с раскалённого катода облегчает разряд (подробно — в эксперименте «Электрический ток в вакууме и газах»). В природе: молния, полярное сияние, ионосфера, солнечный ветер, звёзды и межзвёздная среда.

Дебаевское экранирование и столкновения

Вокруг заряда, внесённого в плазму, собирается «облако» противоположного заряда и гасит его поле на расстоянии $λ_{D}$ : $φ = \frac{q}{4 π ε_{0} r} e^{- r / λ_{D}}$ — это дебаевское экранирование. Если газ много больше $λ_{D}$ и в дебаевской сфере много частиц ( $N_{D} ≫ 1$ ), то это идеальная плазма: преобладают коллективные эффекты, плазменный параметр $g = 1 / (n λ_{D}^{3}) ≪ 1$ . В термодинамике это даёт поправку Дебая–Хюккеля: давление меньше идеального на $Δ p / p = - κ^{3} / (24 π n)$ (уравнение состояния). Кулоновские столкновения зарядов в основном малоугловые: их суммарное действие учитывает кулоновский логарифм $\ln Λ \approx \ln (12 π n λ_{D}^{3})$ ( $\sim 10$ – $20$ ); частота столкновений $ν_{e i} \propto n \ln Λ / T^{3 / 2}$ . Поэтому горячая плазма — очень хороший проводник: спитцеровская проводимость $σ \propto T^{3 / 2} / \ln Λ$ при 10 кэВ примерно в 20 раз выше, чем у меди. Электроны диффундируют быстрее ионов, но возникающее электрическое поле их удерживает — это амбиполярная диффузия; теплопроводность тоже в основном обеспечивают электроны.

Колебания и волны в плазме

Если сместить слой электронов, поле между ним и ионами тянет его назад: электроны колеблются с плазменной частотой $f_{p} \approx 8,98 \sqrt{n_{e}}$ (ленгмюровские колебания) — измерьте период в холодной плазме режима «Волны». Тепловое движение превращает это колебание в распространяющуюся ленгмюровскую волну: $ω^{2} = ω_{p}^{2} + 3 k^{2} v_{T}^{2}$ (Бом–Гросс). Тяжёлые ионы дают ионно-звуковые волны: $ω \approx k c_{s}$ , $c_{s} = \sqrt{k T_{e} / m_{i}}$ . Электромагнитная волна распространяется в плазме только при $ω > ω_{p}$ : $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ , $f_{p}$ — частота отсечки. В ионосфере $f_{p}$ ~ 10 МГц: более низкие короткие волны отражаются, и радиосигнал огибает Землю, а более высокие (FM, ТВ, GPS) проходят сквозь ионосферу. В намагниченной плазме типов волн больше: вдоль поля идут альфвеновские волны ( $v_{A} = B / \sqrt{μ_{0} ρ}$ , силовые линии колеблются как «струна») и магнитозвуковые волны ( $\sqrt{v_{A}^{2} + c_{s}^{2}}$ ).

Кинетическое описание, затухание Ландау, неустойчивости

Для точного описания нужна функция распределения $f (\vec{r}, \vec{v}, t)$ . Цепочка связанных многочастичных распределений — цепочка Боголюбова (ББГКИ) — при малом плазменном параметре обрывается: уравнение Власова для самосогласованного поля без столкновений $\partial_{t} f + \vec{v} \cdot \nabla f + \frac{q}{m} (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) \cdot \partial_{\vec{v}} f = 0$ , а столкновения добавляются интегралом столкновений Ландау. Режим «Волны» решает уравнение Власова «методом частиц» (PIC): верхняя панель — фазовое пространство $(x, v)$ , то есть сама функция $f$ . Затухание Ландау: частицы, скорость которых близка к скорости волны, обмениваются с ней энергией; в максвелловском распределении медленных частиц больше — волна затухает без столкновений. Обратный случай — два встречных пучка: двухпотоковая неустойчивость, поле растёт экспоненциально, и в фазовом пространстве образуются «вихри» (кинетическая неустойчивость).

Частицы в полях: дрейфы, ловушка, магнитосфера

В однородном поле $B$ заряд движется по окружности Лармора: электрон и ион в противоположных направлениях, радиус иона в $\sqrt{m_{i} / m_{e}}$ раз больше (при одинаковой энергии). Если добавить поперечное $E$ , центр окружности смещается со скоростью ${\vec{v}}_{E} = \vec{E} \times \vec{B} / B^{2}$ — это дрейф, он не зависит от заряда и массы. Если $B$ неоднородно, возникает градиентный дрейф $v_{\nabla B} = \frac{v_{⟂}^{2}}{2 Ω} \frac{\nabla B}{B}$ , а если силовые линии искривлены — дрейф кривизны; их знак зависит от заряда, поэтому они создают ток. Там, где поле усиливается, частица отражается от магнитного зеркала: при $\sin^{2} θ > 1 / R_{m}$ она остаётся в ловушке, а частицы с малым питч-углом выходят через конус потерь. Магнитосфера Земли — такая ловушка: частицы радиационных поясов «прыгают» между полюсами, плазма солнечного ветра сжимает магнитосферу, а полярное сияние возникает, когда частицы из конуса потерь попадают в атмосферу (подробно — в эксперименте «Полярное сияние и сила Лоренца»). Среди планет земной группы сильное глобальное поле только у Земли; у Меркурия оно слабое, у Венеры и Марса глобального поля нет — солнечный ветер взаимодействует прямо с их ионосферой.

МГД, пинч и термоядерный синтез

Плазму можно описывать как две жидкости (электронную и ионную) или как единую проводящую жидкость — магнитную гидродинамику (МГД). В ней поле создаёт магнитное давление $B^{2} / 2 μ_{0}$ , $β = p / (B^{2} / 2 μ_{0})$ . В хорошо проводящей плазме силовые линии поля «вморожены» в вещество — они движутся вместе с ним (число Лундквиста огромно). Ток сжимает плазму собственным магнитным полем — пинч-эффект; равновесие описывает соотношение Беннета $I^{2} \propto N k T$ . Но пинч неустойчив: в перетяжке поле сильнее — «колбасная» неустойчивость ( $m = 0$ ), на изгибе поле с внутренней стороны сильнее — кинк ( $m = 1$ ); когда тяжёлая жидкость «давит» на лёгкую — неустойчивость Рэлея–Тейлора. Продольное поле их подавляет. В токамаке сильное тороидальное поле и ток плазмы вместе образуют винтовые силовые линии; коэффициент запаса устойчивости должен быть $q ≳ 2$ – $3$ . В стеллараторе винтовое поле создают только сложные катушки, а при инерциальном синтезе топливную капсулу сжимает лазер. Условие получения энергии — критерий Лоусона. В МГД-генераторе горячий проводящий газ течёт поперёк магнитного поля и разделяет ионы и электроны на противоположные электроды: $U = u B d$ — электричество без турбины. Плазменные технологии: сварка и резка, «травление» микросхем, лампы и обработка поверхностей.

Знаете ли вы?

Ионизированный газ «плазмой» впервые назвал в 1928 году американский химик и физик Ирвинг Ленгмюр.
Слово «токамак» — сокращение русского «тороидальная камера с магнитными катушками»; первый в мире токамак Т-1 был запущен в 1958 году в Москве, в нынешнем Институте Курчатова.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.