Физика · Электричество и магнетизм · 10 класс

Самоиндукция

Почему при размыкании ключа проскакивает искра — ток в катушке не обрывается мгновенно?

Ситуация

Если разомкнуть ключом цепь с большой катушкой, на контактах ключа вспыхивает голубоватая искра — хотя батарея даёт всего несколько вольт. Катушка зажигания автомобиля из 12 В создаёт десятки тысяч вольт, а сильный магнит в медной трубке падает так медленно, будто в меду. Причина одна: ток в катушке не может измениться мгновенно — если магнитный поток в проводнике меняется, возникает ток, противодействующий этому. Насколько сильна эта «электрическая инерция» и где хранится энергия?

Тема

Самоиндукция, энергия магнитного поля. Искра при размыкании ключа: ток в катушке не прекращается мгновенно

Ключевые понятия

ЭДС самоиндукции
Индуктивность L
Энергия поля

Формулы

ℰ_{s} = - L \frac{d i}{d t}, Φ = L I

ЭДС самоиндукции: катушка противодействует изменению тока. Единица индуктивности — генри (Гн).

i (t) = \frac{ℰ}{R} (1 - e^{- t / τ}), τ = \frac{L}{R}

При замыкании цепи ток растёт не сразу, а в течение постоянной времени $τ$ ; при размыкании $i = I_{0} e^{- t / τ}$ .

L = μ_{0} μ n^{2} V = \frac{μ_{0} μ N^{2} S}{l}

Индуктивность длинной катушки (соленоида); $n = N / l$ , $V = S l$ .

W = \frac{L I^{2}}{2}, w = \frac{B^{2}}{2 μ_{0} μ} = \frac{B H}{2}

Энергия магнитного поля и её объёмная плотность (Дж/м³).

ℰ_{2} = - M \frac{d I_{1}}{d t}, M = \frac{μ_{0} μ N_{1} N_{2} S}{l}; F = k v

Взаимная индукция и тормозящая сила вихревых токов (токов Фуко) — пропорциональна скорости.

Теория

Самоиндукция: «инерция» тока

Если ток через катушку меняется, меняется и её собственный магнитный поток $Φ = L I$ , и в катушке возникает ЭДС: $ℰ_{s} = - L d i / d t$ . По правилу Ленца она противодействует изменению тока: при включении замедляет рост тока, при отключении стремится поддержать ток. В режиме «Соединение» лампа с катушкой загорается позже лампы с реостатом: $i = \frac{ℰ}{R} (1 - e^{- t / τ})$ , $τ = L / R$ . При $t = τ$ ток достигает 63 % установившегося значения. Эти добавочные токи, возникающие при замыкании и размыкании цепи, называют экстратоками.

При размыкании — мощная ЭДС

При размыкании ключа ток очень быстро спадает, $| d i / d t |$ велик — ЭДС может в сотни раз превысить напряжение батареи. В режиме «Размыкание» от батареи 4,5 В вспыхивает неоновая лампа, хотя зажигается она примерно при 80 В. Если неона нет, энергия уходит в искру на контактах ключа (воздух пробивается при нескольких киловольтах). Это явление используется в катушке зажигания автомобиля, а в электронике рядом с катушкой ставят защитный диод. Выделившаяся энергия берётся из запасённой в катушке $W = L I_{0}^{2} / 2$ — сравните с энергией, полученной неоном на экране.

Индуктивность

Индуктивность $L = Φ / I$ — величина, зависящая от формы, размеров проводника и среды; от силы тока она не зависит. Для длинной катушки $L = μ_{0} μ n^{2} V$ : она пропорциональна квадрату числа витков, а железный или ферритовый сердечник увеличивает её в тысячи раз (считаем, что сердечник замыкает магнитную цепь; для короткой катушки формула приближённая). В цепи переменного тока катушка создаёт индуктивное сопротивление $X_{L} = ω L$ : ток отстаёт от напряжения на четверть периода, а полное сопротивление (импеданс) $Z = \sqrt{R^{2} + {(ω L)}^{2}}$ — векторные диаграммы в эксперименте «Переменный ток и RLC».

Энергия и плотность энергии магнитного поля

Чтобы увеличить ток от нуля до $I$ , источник совершает работу против ЭДС самоиндукции: $W = \int L i d i = L I^{2} / 2$ . Эта энергия хранится в поле внутри катушки; на единицу объёма приходится $w = B^{2} / (2 μ_{0} μ)$ . В длинной катушке $B = μ_{0} μ n I$ и $w V = L I^{2} / 2$ — в режиме «Индуктивность» показаны обе величины. При одном и том же $B$ плотность энергии в железе в $μ$ раз меньше, чем в воздухе, — основная часть энергии накапливается не в железе, а в воздушном зазоре и пустоте. Магнитные свойства веществ — в эксперименте «Магнитные свойства вещества».

Взаимная индукция — идея трансформатора

Если ток в одной катушке меняется, её поток проходит и через вторую катушку, и в ней возникает ЭДС: $ℰ_{2} = - M d I_{1} / d t$ . Для двух катушек на общем сердечнике $M = μ_{0} μ N_{1} N_{2} S / l = \sqrt{L_{1} L_{2}}$ . При переменном токе $U_{2} / U_{1} = N_{2} / N_{1}$ — это основа трансформатора (подробнее — в эксперименте «Трансформатор»).

Токи Фуко, квазистационарность и скин-эффект

Если магнит движется рядом с массивным проводником, в проводнике возникают кольцевые вихревые токи (токи Фуко). Они противодействуют движению магнита: в медной трубке ток кольца под магнитом отталкивает его, а над ним — притягивает. Сила пропорциональна скорости $F = k v$ , поэтому магнит вскоре падает с постоянной скоростью $v = m g / k$ ; для трубки с тонкими стенками $k = \frac{45 μ_{0}^{2} p_{m}^{2} σ w}{1024 a^{4}}$ ( $p_{m}$ — магнитный момент магнита, $σ$ — удельная проводимость меди, $w$ — толщина стенки, $a$ — радиус трубки). Если трубку разрезать вдоль, кольцевые токи вокруг неё разрываются и торможение ослабевает, но не исчезает: токи у краёв щели поворачивают и замыкаются локальными вихрями, поэтому даже в реальной разрезанной трубке магнит заметно замедляется. Модель учитывает только кольцевые токи — в «Разрезанной меди» магнит падает почти свободно. Это явление используется в магнитных тормозах поездов и аттракционов, в индукционных печах, а сердечники трансформаторов набирают из тонких листов, чтобы уменьшить токи Фуко. Предположение, что ток одинаков по всей цепи, основано на условии квазистационарности: размер цепи много меньше длины волны ( $c / f$ ). На высокой частоте ток вытесняется к поверхности проводника (скин-эффект): $δ = \sqrt{2 ρ / (ω μ_{0} μ)}$ , для меди при 50 Гц $δ \approx 9$ мм.

Знаете ли вы?

В 1832 году американский физик Джозеф Генри, наблюдая сильную искру при размыкании цепи мощного электромагнита, открыл самоиндукцию. Единица индуктивности — генри (Гн) — названа в его честь.
При токе частотой 50 Гц толщина скин-слоя в меди примерно 9 мм: на этой глубине плотность тока в $e \approx 2,7$ раза меньше, чем на поверхности. Поэтому внутренняя часть очень толстых проводников плохо проводит ток.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Электролиз, законы Фарадея — 8 класс
Электрический ток в вакууме и газах — 8 класс
Магнитное поле — 8 класс
Электромагнит и реле — 8 класс
Встряхиваемый фонарик — 10 класс
Магнитные свойства вещества — 10 класс
Плазма — четвёртое состояние — 10 класс
Линия электропередачи — 11 класс
Микроволны и Wi-Fi — 11 класс
Излучение диполя-антенны — 11 класс