Физика · Электричество и магнетизм · 11 класс

Микроволны и Wi-Fi

Как измерить скорость света с помощью шоколада в печи?

Ситуация

Микроволновая печь на кухне, Wi-Fi-роутер в гостиной, телефон в кармане — всё это работает на электромагнитных волнах. Эти волны невидимы, но их можно измерить: если вынуть из печи вращающийся поддон и положить на него шоколад, он растает не равномерно, а пятнами. Измерив линейкой расстояние между пятнами, можно найти скорость света! Как это сделать — и почему Wi-Fi на 5 ГГц не доходит до спальни?

Тема

Электромагнитные волны. Wi-Fi, мобильная связь и микроволновая печь

Ключевые понятия

Электромагнитная волна
Стоячая волна
c = λf

Формулы

c = λ f

Скорость волны = длина волны × частота. В вакууме (в воздухе почти так же) $c = 299 792 458$ м/с.

d = \frac{λ}{2} \Rightarrow c = 2 d f

В стоячей волне расстояние между соседними пучностями (самыми горячими пятнами) равно половине длины волны.

E = E_{0} \sin \frac{m π x}{a} \sin \frac{n π z}{b} \cos ω t

Стоячая волна в печи — мода $(m, n)$ . Мощность нагрева пропорциональна $E^{2}$ .

f_{m n} = \frac{c}{2} \sqrt{{(\frac{m}{a})}^{2} + {(\frac{n}{b})}^{2}}

Частота моды: печь размером $a \times b$ «звенит» в моде, соответствующей частоте магнетрона 2,45 ГГц.

L = 20 \lg \frac{4 π d f}{c} + \sum L_{d e v}

Затухание сигнала Wi-Fi (дБ): распространение в свободном пространстве и каждая стена на пути.

Теория

Электромагнитная волна

Электрическое и магнитное поля колеблются перпендикулярно друг другу и распространяются в пространстве со скоростью $c$ — это электромагнитная волна. Радиоволны, микроволны, свет, рентгеновское и гамма-излучение имеют одну природу, они отличаются лишь длиной волны. В режиме «Спектр» посмотрите на шкалу от 1 пм до 1 км: каждое деление отличается в 10 раз.

Стоячая волна в печи

Металлические стенки печи отражают волну; прямая и отражённая волны складываются и образуют стоячую волну. В пучностях $E$ максимально, и шоколад плавится именно там, а в узлах ( $E = 0$ ) остаётся твёрдым. Поэтому в печи есть вращающийся поддон. Если бы волна распространялась только вдоль $x$ , расстояние между пятнами было бы в точности $λ / 2$ . На самом деле мода двумерная: $1 / d_{x}^{2} + 1 / d_{z}^{2} = {(2 / λ)}^{2}$ , поэтому $d_{x} = a / m$ чуть больше. В печи на 20 л погрешность ≈ 2 %, а в моде (5, 2) печи на 25 л — ≈ 7 %: проверьте сами.

Wi-Fi и стены

Мощность сигнала измеряют в децибел-милливаттах (дБм): −3 дБ — мощность меньше в 2 раза, −10 дБ — в 10 раз. В свободном пространстве затухание равно $20 \lg (4 π d f / c)$ : при увеличении частоты вдвое теряется ещё 6 дБ. Кроме того, бетонная стена поглощает волну, и тем сильнее, чем выше частота: 16 см бетона «съедают» ≈ 9 дБ на 2,4 ГГц и ≈ 15 дБ на 5 ГГц. На 5 ГГц скорость выше (канал шире), но сигнал хуже доходит далеко и за стену. Для телефона ≈ −67 дБм — хороший сигнал, ниже −80 дБм связи почти нет.

Теория Максвелла и плоская волна

Переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле — его линии не начинаются на зарядах, а замкнуты: $\oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = - d Φ_{B} / d t$ (отсюда ЭДС индукции). Переменное электрическое поле (ток смещения $ε_{0} \partial \vec{E} / \partial t$ ) подобно току порождает вихревое магнитное поле; они порождают друг друга и передаются по волне, как по цепочке; полный вид уравнений — в эксперименте «Излучение диполя-антенны». В свободном пространстве из них следует волновое уравнение: $\partial^{2} E / \partial x^{2} = c^{- 2} \partial^{2} E / \partial t^{2}$ , $c = 1 / \sqrt{ε_{0} μ_{0}}$ . Значит, электромагнитное воздействие передаётся не мгновенно, а со скоростью $c$ : сигнал от роутера до телефона в 10 м доходит за ≈ 33 нс. Простейшее решение — плоская монохроматическая волна $E = E_{0} \cos (ω t - k x)$ : $\vec{E} ⟂ \vec{B} ⟂ \vec{v}$ , $B = E / c$ , направление $\vec{E}$ — поляризация. Плотность энергии $w = ε_{0} E^{2}$ (половина в электрическом, половина в магнитном поле), поток энергии — вектор Умова–Пойнтинга $\vec{S} = \vec{E} \times \vec{B} / μ_{0}$ , интенсивность $I = \frac{1}{2} c ε_{0} E_{0}^{2}$ — в окне результата режима «Wi-Fi» посмотрите $I$ и $E_{0}$ в месте, где находится телефон. Волна переносит и импульс ( $p = W / c$ ) и оказывает давление на преграду (опыт Лебедева — в эксперименте «Импульс фотона и эффект Комптона»). Для плоской волны $E^{2} - c^{2} B^{2} = 0$ и $\vec{E} \cdot \vec{B} = 0$ ; эти две величины — инварианты: в любой системе отсчёта они равны нулю, то есть свет для любого наблюдателя остаётся волной. Герц в 1888 году отразил волну от цинкового листа на стене лекционного зала, получил стоячую волну и, измерив расстояние между узлами, нашёл $λ$ — вы повторяете то же самое в печи.

В среде и на границе с металлом

В веществе к уравнениям Максвелла добавляются материальные уравнения: $\vec{D} = ε ε_{0} \vec{E}$ , $\vec{B} = μ μ_{0} \vec{H}$ , $\vec{j} = σ \vec{E}$ . В переменном поле проводимость становится мнимой частью диэлектрической проницаемости: $ε = ε^{'} - j ε^{''}$ , $ε^{''} = σ / (ω ε_{0})$ , показатель преломления тоже комплексный: $n - j κ = \sqrt{ε}$ . $n$ замедляет волну ( $v = c / n$ ), а $κ$ поглощает её: амплитуда убывает как $e^{- k_{0} κ x}$ . Стены рассчитаны именно так — в окне результата посмотрите $n - j κ$ для бетона. Закон сохранения энергии в среде (теорема Пойнтинга): поток, вошедший в объём = прирост энергии поля + теплота, в единице объёма в среднем $\frac{1}{2} ω ε_{0} ε^{''} E_{0}^{2}$ . Этим же теплом нагреваются и шоколад, и стена. Граничные условия: на границе двух сред касательная составляющая $\vec{E}$ непрерывна, а в идеальном металле равна нулю — поэтому на стенках печи всегда узел, волна отражается и «помещаются» только моды с частотой $f_{m n}$ . Магнетрон подаёт волну в печь через прямоугольный волновод (металлическую трубу) — за слюдяной крышкой на стенке. Внутри трубы волна уже не чисто поперечная: в основной моде $T E_{10}$ у магнитного поля есть продольная составляющая. В свободном пространстве же электромагнитная волна всегда поперечная. Связь между дисперсией и поглощением (соотношения Крамерса–Кронига) — в экспериментах «Лазер, вода и оптоволокно» и «Рассеяние света».

Модель и упрощения

В печи взята одна основная мода (настоящая печь многомодовая), её размеры подобраны так, чтобы мода приходилась точно на 2,45 ГГц. Скорость нагрева в пучности 1,2 К/с, масло какао плавится при 34 °C, учтены теплота плавления и теплопроводность шоколада. Wi-Fi: учтён только прямой путь, не учтены отражения от стен и дифракция на дверях, свойства материалов стен приблизительные. Цветная карта — сигнал на высоте 1 м. Для наглядности движение волны замедлено в миллиарды раз; стены срезаны на высоте 1,1 м.

Знаете ли вы?

По легенде, около 1945 года американский инженер Перси Спенсер, работая рядом с магнетроном радара, заметил, что шоколад у него в кармане растаял. После этого он запатентовал способ разогрева пищи микроволнами.
Микроволновая печь и Wi-Fi на 2,4 ГГц работают в одном диапазоне частот (2,4–2,5 ГГц), поэтому рядом с работающей печью Wi-Fi на 2,4 ГГц может замедляться.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.