Физика · Электричество и магнетизм · 11 класс

Излучение диполя-антенны

Как колеблющийся заряд создаёт волну, уходящую далеко?

Ситуация

Ташкентская телебашня (375 м) и радиомачты на окраинах города рассылают в воздух электромагнитные волны. Антенна — это ток, который меняет направление миллионы раз в секунду: электроны в ней колеблются вверх-вниз. Как колеблющийся заряд порождает волну, которая отрывается от него и уходит далеко? Почему дрон, летящий прямо над антенной, не ловит никакого сигнала и как это связано с голубым цветом неба?

Тема

Уравнения Максвелла. Волна, расходящаяся от антенны, — 3D-поле

Ключевые понятия

Уравнения Максвелла
Диполь Герца
Вектор Пойнтинга

Формулы

\nabla \cdot \vec{E} = \frac{ρ}{ε_{0}}, \nabla \cdot \vec{B} = 0

Законы Гаусса: электрическое поле начинается на заряде, а магнитных «зарядов» нет — линии $\vec{B}$ всегда замкнуты.

\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \nabla \times \vec{B} = μ_{0} \vec{j} + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

Законы Фарадея и Ампера–Максвелла: переменное магнитное поле порождает электрическое, а переменное электрическое — магнитное. Это и есть волна.

c = \frac{1}{\sqrt{μ_{0} ε_{0}}} \approx 3 \cdot 10^{8} m/s, λ = \frac{c}{f}

Скорость волны, следующая из уравнений Максвелла, — скорость света.

E_{θ} \approx - \frac{p_{0} k^{2} \sin θ}{4 π ε_{0} r} \cos (ω t - k r), B_{φ} = \frac{E_{θ}}{c}

Дальняя зона ( $r ≫ λ$ ): $E$ и $B$ колеблются в одной фазе, перпендикулярны друг другу и направлению распространения и убывают как $1 / r$ .

\overline{S} = \frac{μ_{0} p_{0}^{2} ω^{4} \sin^{2} θ}{32 π^{2} c r^{2}}, P = \frac{μ_{0} p_{0}^{2} ω^{4}}{12 π c}

Среднее значение вектора Пойнтинга и полная мощность излучения диполя.

Теория

Уравнения Максвелла

Четыре уравнения описывают всю электродинамику. Важнее всего последние два: переменное $\vec{B}$ порождает вихревое $\vec{E}$ , а переменное $\vec{E}$ (через ток смещения $ε_{0} \partial \vec{E} / \partial t$ , добавленный Максвеллом) порождает вихревое $\vec{B}$ . Поддерживая друг друга, поля отрываются от зарядов и распространяются со скоростью $c = 1 / \sqrt{μ_{0} ε_{0}}$ . В интегральной форме: $\oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = - d Φ_{B} / d t$ , $\oint \vec{B} \cdot d \vec{l} = μ_{0} (I + ε_{0} d Φ_{E} / d t)$ , $\oint \vec{E} \cdot d \vec{S} = Q / ε_{0}$ , $\oint \vec{B} \cdot d \vec{S} = 0$ ; дифференциальная форма получается из них по теоремам Стокса и Гаусса. Вместе с силой Лоренца $\vec{F} = q (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ , действующей на заряд, это полная система Максвелла–Лоренца. Её первая пара ( $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ , $\nabla \times \vec{E} = - \partial \vec{B} / \partial t$ ) выполняется автоматически при введении потенциалов; вторая пара, с источниками, следует из принципа наименьшего действия для интеграла действия поля $S = \int (\frac{1}{2} ε_{0} E^{2} - \frac{1}{2 μ_{0}} B^{2} - ρ φ + \vec{j} \cdot \vec{A}) d V d t$ .

Ближняя и дальняя зона

Фиолетовые линии на сцене — линии электрического поля в меридиональной плоскости антенны; это изолинии функции тока точного решения $ψ = \sin^{2} θ (\cos u / k r - \sin u)$ , $u = ω t - k r$ . В ближней зоне ( $r ≪ λ / 2 π$ ) линии связаны с зарядами, а поле убывает как у статического диполя — $1 / r^{3}$ . Каждые полпериода заряды меняются местами, и линии обрываются, превращаясь в петли; в дальней зоне они уже становятся волной. Расстояние между соседними петлями одного цвета равно $λ$ . Синие петли — линии магнитного поля, они охватывают ось антенны.

Диаграмма направленности

Поток энергии — вектор Пойнтинга $\vec{S} = \vec{E} \times \vec{B} / μ_{0}$ . Его среднее значение пропорционально $\sin^{2} θ$ : в экваториальной плоскости оно наибольшее, а вдоль оси антенны ( $θ = 0 °$ и $180 °$ ) равно нулю. Трёхмерный «бублик» показывает именно эту диаграмму. Поэтому радиомачты устанавливают антенны вертикально: энергия идёт по горизонту, к людям, а не в небо.

Потенциалы и запаздывание

Поля удобно записывать через потенциалы: $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ , $\vec{E} = - \nabla φ - \partial \vec{A} / \partial t$ . Потенциалы определены неоднозначно: при замене $\vec{A} \to \vec{A} + \nabla χ$ , $φ \to φ - \partial χ / \partial t$ поля не меняются (калибровка, то есть градиентная инвариантность). Если выбрать условие Лоренца $\nabla \cdot \vec{A} + c^{- 2} \partial φ / \partial t = 0$ , уравнения превращаются в уравнения Даламбера: $□ \vec{A} = - μ_{0} \vec{j}$ , $□ φ = - ρ / ε_{0}$ . Их решение — запаздывающие потенциалы: потенциал в точке $r$ определяется состоянием источника в момент $t - r / c$ . Для нашего диполя $\vec{A} = μ_{0} \dot{\vec{p}} (t - r / c) / (4 π r)$ — отсюда получены все поля на сцене, а $k r$ в $u = ω t - k r$ — это и есть запаздывание (посмотрите $r / c$ в точке, где находится дрон, в окне результатов). Для произвольно движущегося точечного заряда та же идея даёт потенциалы Льенара–Вихерта: $φ = q / (4 π ε_{0} (R - \vec{R} \cdot \vec{v} / c))$ , где $R$ и $\vec{v}$ берутся в запаздывающий момент.

Излучает любой ускоренный заряд

На большом расстоянии поле заряда зависит от его ускорения в запаздывающий момент и убывает как $1 / r$ ; мощность излучения даётся формулой Лармора $P = q^{2} a^{2} / (6 π ε_{0} c^{3})$ , откуда для диполя следует $P \propto ω^{4}$ . Вибратор Герца — два проводника, разделённые искровым промежутком, — был именно таким диполем, а приёмником служило проволочное кольцо с маленьким искровым промежутком. Рамочная антенна — магнитный диполь: $P = μ_{0} m_{0}^{2} ω^{4} / (12 π c^{3})$ ; при одинаковых размерах она примерно в ${(k ℓ)}^{2}$ раз слабее электрического диполя; излучение квадруполя пропорционально $ω^{6}$ и ещё слабее. Поскольку энергия уносится, на заряд действует сила радиационного трения: электронный осциллятор затухает, а его спектральная линия имеет естественную ширину — в классическом расчёте $Δ λ = \frac{4 π}{3} r_{e} \approx 1,2 \cdot 10^{- 5}$ нм, она не зависит от длины волны. Волна раскачивает свободный электрон, превращая его в маленькую антенну, — это томсоновское рассеяние с сечением $σ_{T} = \frac{8 π}{3} r_{e}^{2} \approx 6,65 \cdot 10^{- 29}$ м². Заряды, движущиеся почти со скоростью света, излучают вперёд в узком конусе — это синхротронное излучение (эксперимент «Ускоритель заряженных частиц»). Плотность энергии поля $w$ , поток энергии $\vec{S}$ и плотность импульса $\vec{S} / c^{2}$ образуют единый тензор энергии-импульса.

Почему небо голубое?

Мощность $P \propto ω^{4}$ : при увеличении частоты вдвое излучение возрастает в 16 раз. Солнечный свет раскачивает электроны в молекулах воздуха, и каждая молекула, становясь маленькой дипольной антенной, рассеивает свет во все стороны (рэлеевское рассеяние). Частота синего света (≈ 450 нм) в 1,56 раза больше, чем красного (≈ 700 нм), поэтому он рассеивается в ${1,56}^{4} \approx 6$ раз сильнее. Модель: длина антенны $ℓ = 1$ м ≪ $λ$ (диполь Герца), отражение от земли не учитывается (свободное пространство), время замедлено в $5 \cdot 10^{7}$ раз, дрон увеличен.

Знаете ли вы?

Джеймс Клерк Максвелл в статье «Динамическая теория электромагнитного поля» (1865) показал, что электромагнитные волны должны распространяться со скоростью света, и пришёл к выводу, что сам свет — тоже электромагнитная волна.
В 1887 году Генрих Герц с помощью искрового вибратора — по сути дипольной антенны — и кольцевого приёмника получил электромагнитные волны на опыте и зарегистрировал их. Единица частоты — герц (Гц) — названа в его честь.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.