Fizika · Elektr va magnetizm · 11-sinf

Dipol antenna nurlanishi

Tebranayotgan zaryad qanday qilib uzoqqa ketadigan to‘lqin hosil qiladi?

Vaziyat

Toshkent teleminorasi (375 m) va shahar chetidagi radio ustunlari havoga elektromagnit to‘lqinlar tarqatadi. Antenna — bu yo‘nalishini sekundiga millionlab marta o‘zgartiradigan tok: undagi elektronlar yuqoriga-pastga tebranadi. Tebranayotgan zaryad qanday qilib undan uzilib, uzoqqa ketadigan to‘lqin hosil qiladi? Nega antennaning tepasida uchayotgan dron hech qanday signal ushlamaydi va bu osmonning moviyligi bilan qanday bog‘liq?

Mavzu

Maksvell tenglamalari. Antennadan tarqalayotgan to‘lqin — 3D maydon

Asosiy tushunchalar

Maksvell tenglamalari
Gers dipoli
Poynting vektori

Formulalar

\nabla \cdot \vec{E} = \frac{ρ}{ε_{0}}, \nabla \cdot \vec{B} = 0

Gauss qonunlari: elektr maydon zaryaddan boshlanadi, magnit «zaryad» esa yo‘q — $\vec{B}$ chiziqlari doim yopiq.

\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \nabla \times \vec{B} = μ_{0} \vec{j} + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

Faradey va Amper–Maksvell qonunlari: o‘zgaruvchan magnit maydon elektr maydonni, o‘zgaruvchan elektr maydon magnit maydonni hosil qiladi — bu to‘lqin.

c = \frac{1}{\sqrt{μ_{0} ε_{0}}} \approx 3 \cdot 10^{8} m/s, λ = \frac{c}{f}

Maksvell tenglamalaridan chiqadigan to‘lqin tezligi — yorug‘lik tezligi.

E_{θ} \approx - \frac{p_{0} k^{2} \sin θ}{4 π ε_{0} r} \cos (ω t - k r), B_{φ} = \frac{E_{θ}}{c}

Uzoq zona ( $r ≫ λ$ ): $E$ va $B$ bir fazada, bir-biriga va tarqalish yo‘nalishiga perpendikulyar, $1 / r$ kabi kamayadi.

\overline{S} = \frac{μ_{0} p_{0}^{2} ω^{4} \sin^{2} θ}{32 π^{2} c r^{2}}, P = \frac{μ_{0} p_{0}^{2} ω^{4}}{12 π c}

Poynting vektorining o‘rtacha qiymati va dipolning to‘liq nurlanish quvvati.

Nazariya

Maksvell tenglamalari

To‘rtta tenglama butun elektromagnetizmni ifodalaydi. Eng muhimi — oxirgi ikkitasi: o‘zgaruvchan $\vec{B}$ uyurmali $\vec{E}$ ni, o‘zgaruvchan $\vec{E}$ esa (Maksvell qo‘shgan siljish toki $ε_{0} \partial \vec{E} / \partial t$ ) uyurmali $\vec{B}$ ni hosil qiladi. Bir-birini qo‘llab-quvvatlab, maydonlar zaryadlardan uzilib ketadi va $c = 1 / \sqrt{μ_{0} ε_{0}}$ tezlikda tarqaladi. Integral shaklda: $\oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = - d Φ_{B} / d t$ , $\oint \vec{B} \cdot d \vec{l} = μ_{0} (I + ε_{0} d Φ_{E} / d t)$ , $\oint \vec{E} \cdot d \vec{S} = Q / ε_{0}$ , $\oint \vec{B} \cdot d \vec{S} = 0$ ; differensial shakl ulardan Stoks va Gauss teoremalari bilan olinadi. Zaryadga ta’sir qiluvchi Lorens kuchi $\vec{F} = q (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ bilan birga bu to‘liq Maksvell–Lorens tizimi. Uning birinchi jufti ( $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ , $\nabla \times \vec{E} = - \partial \vec{B} / \partial t$ ) potensiallar kiritilishi bilan o‘z-o‘zidan bajariladi; manbali ikkinchi jufti maydon ta’sir integrali $S = \int (\frac{1}{2} ε_{0} E^{2} - \frac{1}{2 μ_{0}} B^{2} - ρ φ + \vec{j} \cdot \vec{A}) d V d t$ uchun eng kichik ta’sir prinsipidan kelib chiqadi.

Yaqin va uzoq zona

Sahnadagi binafsha chiziqlar — antennaning meridian tekisligidagi elektr maydon chiziqlari, ular aniq yechimning oqim funksiyasi $ψ = \sin^{2} θ (\cos u / k r - \sin u)$ , $u = ω t - k r$ ning izochiziqlari. Yaqin zonada ( $r ≪ λ / 2 π$ ) chiziqlar zaryadlarga bog‘langan, maydon statik dipolnikidek $1 / r^{3}$ kamayadi. Har yarim davrda zaryadlar o‘rin almashganda chiziqlar halqa bo‘lib uziladi — uzoq zonada ular to‘lqin bo‘lib ketadi; bir xil rangli qo‘shni halqalar orasi $λ$ . Ko‘k halqalar — magnit maydon chiziqlari, ular antenna o‘qini aylanib o‘tadi.

Nurlanish diagrammasi

Energiya oqimi — Poynting vektori $\vec{S} = \vec{E} \times \vec{B} / μ_{0}$ . Uning o‘rtacha qiymati $\sin^{2} θ$ ga proporsional: ekvator tekisligida eng katta, antenna o‘qi bo‘ylab ( $θ = 0 °$ va $180 °$ ) esa nolga teng. 3D «donut» shu diagrammani ko‘rsatadi. Shuning uchun radiominoralar antennalarini vertikal o‘rnatadi: energiya gorizont bo‘ylab, odamlar tomonga tarqaladi, osmonga emas.

Potensiallar va kechikish

Maydonlarni potensiallar orqali yozish qulay: $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ , $\vec{E} = - \nabla φ - \partial \vec{A} / \partial t$ . Potensiallar bir qiymatli emas: $\vec{A} \to \vec{A} + \nabla χ$ , $φ \to φ - \partial χ / \partial t$ almashtirishda maydonlar o‘zgarmaydi (kalibrovka, ya’ni gradient invariantlik). Lorens sharti $\nabla \cdot \vec{A} + c^{- 2} \partial φ / \partial t = 0$ tanlansa, tenglamalar Dalamber tenglamalariga aylanadi: $□ \vec{A} = - μ_{0} \vec{j}$ , $□ φ = - ρ / ε_{0}$ . Ularning yechimi — kechikuvchi potensiallar: $r$ nuqtadagi potensialni manbaning $t - r / c$ paytdagi holati belgilaydi. Bizning dipol uchun $\vec{A} = μ_{0} \dot{\vec{p}} (t - r / c) / (4 π r)$ — sahnadagi barcha maydonlar shundan olingan, $u = ω t - k r$ dagi $k r$ aynan kechikishdir (natija oynasida dron joyidagi $r / c$ ni ko‘ring). Ixtiyoriy harakatlanayotgan nuqtaviy zaryad uchun xuddi shu g‘oya Liyenar–Vixert potensiallarini beradi: $φ = q / (4 π ε_{0} (R - \vec{R} \cdot \vec{v} / c))$ , bunda $R$ va $\vec{v}$ kechikkan paytda olinadi.

Har qanday tezlanuvchi zaryad nurlanadi

Uzoq masofada zaryad maydoni uning kechikkan paytdagi tezlanishiga bog‘liq va $1 / r$ kabi kamayadi; nurlanish quvvati — Larmor formulasi $P = q^{2} a^{2} / (6 π ε_{0} c^{3})$ , dipol uchun undan $P \propto ω^{4}$ chiqadi. Gers vibratori — uchqun oralig‘i bilan ajratilgan ikki o‘tkazgich — shunday dipol edi, qabul qilgichi esa kichik uchqun oralig‘i bo‘lgan sim halqa. Halqa antenna — magnit dipol: $P = μ_{0} m_{0}^{2} ω^{4} / (12 π c^{3})$ , o‘lchami bir xil bo‘lsa, elektr dipoldan taxminan ${(k ℓ)}^{2}$ marta kuchsiz; kvadrupol nurlanish $ω^{6}$ ga proporsional va undan ham zaif. Energiya olib ketilgani uchun zaryadga nurlanish reaksiyasi kuchi ta’sir qiladi: elektron ossillyator so‘nadi, uning spektral chizig‘i tabiiy kenglikka ega — klassik hisobda $Δ λ = \frac{4 π}{3} r_{e} \approx 1,2 \cdot 10^{- 5}$ nm, to‘lqin uzunligiga bog‘liq emas. To‘lqin erkin elektronni tebratib, uni kichik antennaga aylantiradi — Tomson sochilishi, kesimi $σ_{T} = \frac{8 π}{3} r_{e}^{2} \approx 6,65 \cdot 10^{- 29}$ m². Yorug‘lik tezligiga yaqin zaryadlar nurni tor konus ichida oldinga chiqaradi — sinxrotron nurlanish («Zaryadli zarralar tezlatgichi» tajribasida). Maydon energiyasi zichligi $w$ , energiya oqimi $\vec{S}$ va impuls zichligi $\vec{S} / c^{2}$ bitta energiya-impuls tenzorini tashkil qiladi.

Nega osmon moviy?

Quvvat $P \propto ω^{4}$ : chastota 2 marta oshsa, nurlanish 16 marta kuchayadi. Quyosh nuri havo molekulalaridagi elektronlarni tebratadi va har bir molekula kichik dipol antennaga aylanib, nurni har tomonga sochadi (Reley sochilishi). Ko‘k yorug‘lik (≈ 450 nm) qizildan (≈ 700 nm) chastotasi 1,56 marta katta, demak ${1,56}^{4} \approx 6$ marta kuchliroq sochiladi. Model: antenna uzunligi $ℓ = 1$ m ≪ $λ$ (Gers dipoli), yerdan qaytish hisobga olinmagan (erkin fazo), vaqt $5 \cdot 10^{7}$ marta sekinlashtirilgan, dron kattalashtirilgan.

Bilasizmi?

Jeyms Klerk Maksvell 1865-yilda «Elektromagnit maydonning dinamik nazariyasi» maqolasida elektromagnit to‘lqinlar yorug‘lik tezligida tarqalishi kerakligini ko‘rsatdi va yorug‘likning o‘zi ham elektromagnit to‘lqin degan xulosaga keldi.
1887-yilda Genrix Gers uchqunli vibrator — aslida dipol antenna — va halqasimon qabul qilgich yordamida elektromagnit to‘lqinlarni tajribada hosil qilib, qayd etdi. Chastota birligi — gers (Hz) uning sharafiga nomlangan.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.