Физика · Электричество и магнетизм · 11 класс

Колебательный контур (LC)

Как контур выбирает одну станцию, когда вы поворачиваете ручку радио?

Ситуация

Если медленно вращать ручку старого радиоприёмника, из шума сначала возникает одна станция, потом другая. Ручка поворачивает пластины переменного конденсатора внутри, а конденсатор вместе с катушкой образует колебательный контур. В этом контуре электрическая энергия примерно миллион раз в секунду переходит из конденсатора в катушку и обратно. На антенну приходят волны десятков станций — как контур «выбирает» только одну, почему колебания затухают и как передатчик делает их незатухающими?

Тема

Колебательный контур. Контур радиоприёмника: обмен энергией между конденсатором и катушкой

Ключевые понятия

Формула Томсона
Обмен энергией
Резонанс и затухание

Формулы

T = 2 π \sqrt{L C}, ν_{0} = \frac{1}{2 π \sqrt{L C}}

Формула Томсона: период и частота собственных колебаний контура.

W = \frac{q^{2}}{2 C} + \frac{L i^{2}}{2} = \frac{q_{m}^{2}}{2 C} = \frac{L I_{m}^{2}}{2}

Сумма энергий электрического и магнитного полей (в идеальном контуре постоянна).

q = q_{m} e^{- β t} \cos ω t, β = \frac{R}{2 L}, ω = \sqrt{ω_{0}^{2} - β^{2}}

Решение уравнения затухающих колебаний $L \ddot{q} + R \dot{q} + q / C = 0$ .

δ = \ln \frac{q_{n}}{q_{n + 1}} = β T, Q = \frac{π}{δ} \approx \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}

Логарифмический декремент затухания и добротность контура.

Z = \sqrt{R^{2} + {(ω L - \frac{1}{ω C})}^{2}}, U_{C}^{r e z} = Q ℰ

Полное сопротивление цепи; при резонансе $Z = R$ , а напряжение на конденсаторе в $Q$ раз больше ЭДС антенны.

Теория

Что происходит в контуре?

Конденсатор, заряженный от батареи, подключают к катушке. Конденсатор начинает разряжаться, но самоиндукция катушки не даёт току сразу возрасти. Когда конденсатор полностью разряжен ( $q = 0$ ), ток максимален, и теперь самоиндукция не даёт ему сразу прекратиться — ток перезаряжает конденсатор в противоположном знаке. Так энергия переходит туда и обратно между электрическим полем (фиолетовые лучи между пластинами, $W_{E} = q^{2} / 2 C$ ) и магнитным полем (жёлтые линии вокруг катушки, $W_{B} = L i^{2} / 2$ ). Электроны (синие точки) колеблются в проводе вперёд и назад.

Уравнение, амплитуда, частота, период

Закон Кирхгофа для контура: $L d i / d t + q / C = 0$ , то есть $\ddot{q} + ω_{0}^{2} q = 0$ , $ω_{0} = 1 / \sqrt{L C}$ . Решение — гармоническое колебание: $q = q_{m} \cos (ω_{0} t + φ_{0})$ , $i = \dot{q} = - q_{m} ω_{0} \sin (ω_{0} t + φ_{0})$ . $q_{m}$ — амплитуда заряда, $I_{m} = q_{m} ω_{0}$ — амплитуда тока. На графике ток опережает напряжение на четверть периода: когда $u_{C} = 0$ , $| i |$ наибольший. Формула Томсона $T = 2 π \sqrt{L C}$ : если увеличить ёмкость в 4 раза, период увеличится в 2 раза. При 200 мкГн и 150 пФ $T \approx 1,09$ мкс, $ν \approx 919$ кГц — диапазон средних волн. Время на сцене замедлено в миллион раз: 1 с на экране — на самом деле 1 мкс.

Механическая аналогия

Пружинный маятник подчиняется тому же уравнению: $m \ddot{x} + b \dot{x} + k x = 0$ . Соответствие: смещение $x \leftrightarrow q$ , скорость $v \leftrightarrow i$ , масса $m \leftrightarrow L$ (инертность — катушка противится изменению тока), жёсткость $k \leftrightarrow 1 / C$ , трение $b \leftrightarrow R$ ; потенциальная энергия $k x^{2} / 2 \leftrightarrow q^{2} / 2 C$ , кинетическая энергия $m v^{2} / 2 \leftrightarrow L i^{2} / 2$ , период $2 π \sqrt{m / k} \leftrightarrow 2 π \sqrt{L C}$ . Груз на сцене колеблется так же, как заряд в контуре.

Затухающие колебания

На сопротивлении $R$ проводов и катушки энергия превращается в теплоту ( $i^{2} R$ ), поэтому амплитуда убывает как $e^{- β t}$ , $β = R / 2 L$ . Отношение двух последовательных максимумов постоянно: логарифмический декремент $δ = \ln (q_{n} / q_{n + 1}) = β T$ . Добротность $Q = π / δ$ — колебание затухает в $e$ раз примерно за $Q / π$ периодов. В радиоконтурах $Q$ около 50–200. Если $R \geq 2 \sqrt{L / C}$ , колебаний вообще нет — конденсатор медленно разряжается в одну сторону (апериодический процесс).

Вынужденные колебания: как настраивается радио

Волны всех станций наводят в антенне малые ЭДС и вызывают в контуре вынужденные колебания. Полное сопротивление последовательного контура $Z = \sqrt{R^{2} + {(ω L - 1 / ω C)}^{2}}$ минимально только при $ω = ω_{0}$ ( $Z = R$ ) — у этой станции ток наибольший, а напряжение на конденсаторе в $Q$ раз больше ЭДС (резонанс напряжений). Для других станций $Z$ больше в сотни раз. Ширина резонансной кривой $Δ ν \approx ν_{0} / Q$ — избирательность контура. Параллельный контур и резонанс токов, генераторы переменного тока — в эксперименте «Переменный ток и RLC».

Транзисторный генератор

Чтобы колебания не затухали, в контур нужно вовремя добавлять энергию в каждом периоде — как раскачивать качели, толкая их в нужный момент. Маленькая катушка обратной связи возле катушки «чувствует» направление тока и открывает транзистор именно в нужный полупериод: батарея отдаёт контуру энергию. Если связь достаточно сильна (в модели $k = R_{t b} / R > 1$ ), малое случайное колебание нарастает, а когда транзистор приближается к насыщению, рост прекращается: потери и поступающая энергия уравниваются — это автоколебания. Такие генераторы работают в радиопередатчиках и часах. Модель: транзистор ведёт себя как отрицательное сопротивление $R_{t b} (1 - i^{2} / I_{s}^{2})$ ; устойчивая амплитуда $I_{m} = I_{s} \sqrt{\frac{4}{3} (1 - 1 / k)}$ .

Знаете ли вы?

Формулу периода колебаний в контуре вывел в 1853 году Уильям Томсон (позже лорд Кельвин) — поэтому она называется формулой Томсона.
В Европе, Африке и большей части Азии (1-й район МСЭ) диапазон радиовещания на средних волнах — 531–1 602 кГц, шаг между частотами станций — 9 кГц.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.