Физика · Электричество и магнетизм · 8 класс

Магнитное поле

Что поворачивает стрелку компаса — Земля, магнит или ток в проводе?

Ситуация

Если положить туристический компас на стол в Ташкенте, его стрелка укажет на север. Поднесёте магнит — повернётся к магниту, проведёте над ним провод с током — отклонится вбок. Именно это увидел в 1820 году Эрстед и открыл, что электрический ток создаёт магнитное поле. Что поворачивает стрелку, как измерить поле и насколько сильно магнитное поле Земли?

Тема

Магнитное поле. Компас, магнитное поле Земли и опыт Эрстеда

Ключевые понятия

Магнитная индукция B
Опыт Эрстеда
Закон Био–Савара–Лапласа

Формулы

B = \frac{F_{m a x}}{I Δ l}, [B] = 1 Tl = 1 \frac{N}{A \cdot m}

Модуль вектора магнитной индукции. Направление — туда, куда указывает конец N стрелки компаса.

d \vec{B} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I d \vec{l} \times \vec{r}}{r^{3}}, \vec{B} = \sum_{i} {\vec{B}}_{i}

Закон Био–Савара–Лапласа и принцип суперпозиции: поле — векторная сумма полей всех элементов тока.

B_{пр} = \frac{μ_{0} I}{2 π r}, B_{кольца} = \frac{μ_{0} N I}{2 R}, B_{катушки} = μ_{0} n I

Поле прямого провода, в центре кольца и внутри длинной катушки; $μ_{0} = 4 π \cdot 10^{- 7}$ Тл·м/А, $n = N / l$ .

\oint_{L} \vec{B} \cdot d \vec{l} = μ_{0} \sum I_{внутр}, \oint_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S} = 0

Закон полного тока (циркуляция Ампера) и теорема Гаусса: магнитных «зарядов» нет, силовые линии замкнуты.

\frac{F}{l} = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{2 π d}, tg α = \frac{μ_{0} N I}{2 R B_{гор}}

Взаимодействие параллельных токов и формула тангенс-буссоли.

Теория

Постоянный магнит, полюса и силовые линии

У магнита два полюса: N (северный) и S (южный); одноимённые полюса отталкиваются, разноимённые притягиваются. Поле описывается вектором магнитной индукции $\vec{B}$ (единица — тесла, Тл): его направление — туда, куда указывает конец N стрелки компаса. Силовые линии в каждой точке касательны к $\vec{B}$ ; где они гуще, там поле сильнее. Железные опилки выстраиваются цепочками вдоль силовых линий — но только там, где поле ≳ 0,1 мТл; вдали они остаются в беспорядке. Линии внутри магнита продолжаются от S к N и замыкаются: отдельного полюса нет, поэтому магнитный поток через любую замкнутую поверхность $Φ = \oint \vec{B} \cdot d \vec{S} = 0$ (теорема Гаусса). Для плоской поверхности $Φ = B S \cos α$ , единица — вебер (Вб).

Магнитное поле Земли

Земля — огромный магнит: её поле примерно похоже на поле диполя, наклонённого к оси вращения на ≈ 9°. Магнитный полюс вблизи северного географического полюса на самом деле южный (S) магнитный полюс — он притягивает конец N компаса. Стрелка отклоняется от географического севера на угол $D$ (склонение), а свободно подвешенная стрелка наклоняется к горизонту под углом $I$ (наклонение). В дипольной модели $tg I = 2 tg φ_{m}$ ( $φ_{m}$ — геомагнитная широта). Для Ташкента (модель IGRF-14, 2026 год, приблизительно): $D \approx 5,7 °$ к востоку, $I \approx 62 °$ , $B \approx 54$ мкТл, горизонтальная составляющая $B_{гор} \approx 25,5$ мкТл. Дипольная модель для Ташкента даёт $I \approx 53 °$ — разницу создают недипольные части поля.

Опыт Эрстеда, закон Био–Савара–Лапласа

Вокруг провода с током возникает магнитное поле — стрелка компаса поворачивается. Каждый элемент тока $I d \vec{l}$ создаёт в точке поле $d \vec{B} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I d \vec{l} \times \vec{r}}{r^{3}}$ ; поле всего проводника — их сумма (принцип суперпозиции). Каждое поле в этой сцене вычисляется именно так: кольцо и катушка разбиты на малые прямые отрезки. Результаты: прямой провод $B = μ_{0} I / (2 π r)$ , линии — концентрические окружности (правило буравчика: если буравчик ввинчивать по направлению тока, направление вращения его рукоятки показывает направление линий магнитной индукции); в центре кольца $B = μ_{0} N I / (2 R)$ . Равномерно движущийся заряд тоже создаёт такое поле: $\vec{B} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{q \vec{v} \times \vec{r}}{r^{3}}$ (при малых скоростях).

Закон полного тока, катушка и тороид

Циркуляция $\vec{B}$ по замкнутому контуру зависит от суммы токов внутри контура: $\oint \vec{B} \cdot d \vec{l} = μ_{0} \sum I$ . В режиме «Прямой провод» включите контур: если провод внутри контура, сумма равна $μ_{0} I$ , если снаружи — нулю; форма и размер контура не важны. Циркуляция отлична от нуля — поле вихревое (не потенциальное); его можно записать через векторный потенциал: $\vec{B} = rot \vec{A}$ . Внутри длинной катушки (соленоида) поле почти однородно: $B = μ_{0} n I$ , на концах примерно вдвое меньше. Катушка, свёрнутая в кольцо, — тороид — внутри имеет $B = μ_{0} N I / (2 π r)$ , а снаружи поля почти нет. При изменении тока в катушке возникает самоиндукция — смотрите в эксперименте «Самоиндукция».

Взаимодействие токов, силы Ампера и Лоренца

Магнитное поле действует на проводник с током силой Ампера $F = I l B \sin α$ , а на движущийся заряд — силой Лоренца $F = q v B \sin α$ (движение зарядов в поле — в экспериментах «Полярное сияние и сила Лоренца» и об ускорителях). Поэтому два параллельных тока взаимодействуют: $F / l = μ_{0} I_{1} I_{2} / (2 π d)$ ; токи одного направления притягиваются, противоположных — отталкиваются. До 2019 года ампер определялся именно так: при токе 1 А в двух длинных проводах на расстоянии 1 м на каждый метр действует сила $2 \cdot 10^{- 7}$ Н. Наш тесламетр — датчик Холла: сила Лоренца отклоняет в нём заряды вбок, и возникает напряжение $U_{H} \propto I B$ . Датчик обнулён относительно поля Земли — он показывает только поле магнита или тока.

Лаборатория: измерение B и тангенс-буссоль

Определение магнитной индукции: в режимах «Прямой провод», «Кольцо» и «Катушка» перемещайте тесламетр, измеряйте $B$ и сравнивайте с формулами (ток задаётся напряжением источника и сопротивлением реостата по закону Ома: $I = U / R$ ). Тангенс-буссоль: в центре вертикального кольца с $N$ витками (радиус $R = 10$ см) стоит компас. Плоскость кольца ставят вдоль магнитного меридиана, тогда поле кольца $B = μ_{0} N I / (2 R)$ перпендикулярно горизонтальной составляющей поля Земли, и стрелка поворачивается на угол $tg α = B / B_{гор}$ . Измерив $α$ при нескольких токах, по наклону графика зависимости $tg α$ от $N I$ находят $B_{гор} = μ_{0} / (2 R \cdot k)$ ; постоянная тангенс-буссоли $C = I / tg α = 2 R B_{гор} / (μ_{0} N)$ . Чтобы убрать нулевую погрешность, меняют направление тока и берут среднее двух углов; для точности желательно, чтобы $α$ лежал в пределах 20°–70°.

Знаете ли вы?

Датский физик Ханс Кристиан Эрстед в 1820 году заметил поворот стрелки компаса рядом с проводом с током и первым объявил, что электрический ток создаёт магнитное поле.
До 2019 года ампер определялся через взаимодействие двух параллельных токов ( $2 \cdot 10^{- 7}$ Н/м). С 20 мая 2019 года он определяется через точно заданное значение элементарного заряда $e = 1,602176634 \cdot 10^{- 19}$ Кл.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Конденсатор и электрическая ёмкость — 8 класс
Схемы и правила Кирхгофа — 8 класс
Электрический ток в металлах — 8 класс
Электролиз, законы Фарадея — 8 класс
Электрический ток в вакууме и газах — 8 класс
Электромагнит и реле — 8 класс
Встряхиваемый фонарик — 10 класс
Самоиндукция — 10 класс
Магнитные свойства вещества — 10 класс
Плазма — четвёртое состояние — 10 класс