Физика · Электричество и магнетизм · 8 класс

Конденсатор и электрическая ёмкость

Почему конденсатор вспышки заряжается секундами, а разряжается мгновенно?

Ситуация

У друга день рождения, и он снимает на простой фотоаппарат. Как только он нажимает кнопку, вспышка на миг вспыхивает, а до следующей надо подождать несколько секунд, пока загорится лампочка готовности. Одна батарейка АА внутри не может дать такой яркий свет напрямую: энергия сначала медленно накапливается в конденсаторе. Как конденсатор хранит энергию и почему может отдать её мгновенно?

Тема

Электроёмкость и конденсаторы. Вспышка фотоаппарата: конденсатор заряжается медленно, а разряжается мгновенно

Ключевые понятия

Ёмкость C = ε₀εS/d
Энергия W = CU²/2
Заряд и разряд RC-цепи

Формулы

C = \frac{q}{U}, C = \frac{ε_{0} ε S}{d}

Определение ёмкости и ёмкость плоского конденсатора; $ε_{0} = 8,85 \cdot 10^{- 12}$ Ф/м.

C_{ш} = 4 π ε_{0} ε R, C_{сф} = \frac{4 π ε_{0} ε R_{1} R_{2}}{R_{2} - R_{1}}, C_{цил} = \frac{2 π ε_{0} ε L}{\ln (R_{2} / R_{1})}

Уединённый шар, сферический и цилиндрический (коаксиальный) конденсаторы.

W = \frac{C U^{2}}{2} = \frac{q^{2}}{2 C}, w = \frac{ε_{0} ε E^{2}}{2} = \frac{E D}{2}

Энергия конденсатора и плотность энергии электрического поля.

C_{пар} = C_{1} + C_{2} + \dots, \frac{1}{C_{посл}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \dots

Параллельное (напряжение одинаково) и последовательное (заряд одинаков) соединение.

U (t) = U_{0} (1 - e^{- t / R C}), X_{C} = \frac{1}{ω C}

Зарядка в RC-цепи ( $τ = R C$ ) и ёмкостное сопротивление в цепи переменного тока.

Теория

Проводник, диэлектрик и электроёмкость

В проводниках (металлы, электролиты) есть свободные заряды: под действием поля они смещаются и сводят поле внутри проводника к нулю — заряд лежит только на поверхности, а поверхность эквипотенциальна (на графике $E (r)$ в режиме «Формы» внутри ноль). В диэлектриках (стекло, пластмасса, воздух) свободных зарядов почти нет. Электроёмкость уединённого проводника $C = q / φ$ — заряд, который нужен, чтобы повысить его потенциал на 1 В. Единица — фарад: 1 Ф = 1 Кл/В; на практике мФ ( $10^{- 3}$ ), мкФ ( $10^{- 6}$ ), нФ ( $10^{- 9}$ ), пФ ( $10^{- 12}$ ). Ёмкость шара $C = 4 π ε_{0} ε R$ : шар радиусом 10 см в воздухе имеет всего 11 пФ, а вся Земля — примерно 0,71 мФ. Если шар погрузить в керосин, ёмкость увеличится в ε = 2,1 раза — ёмкость зависит от среды, окружающей проводник. Для нескольких проводников заряды линейно зависят от потенциалов: $q_{i} = \sum_{j} C_{i j} φ_{j}$ (коэффициенты ёмкости).

Конденсаторы и их виды

Конденсатор — два проводника (обкладки), разделённые тонким диэлектриком. Противоположные заряды на обкладках гасят поле друг друга снаружи, поэтому при том же напряжении вмещается гораздо больше заряда, чем на уединённом проводнике. Плоский конденсатор: $C = ε_{0} ε S / d$ ; $S = 100$ см², $d = 1$ мм, воздух — 88,5 пФ. Формулы сферического и цилиндрического конденсаторов получаются из теоремы Гаусса; коаксиальный кабель — тоже цилиндрический конденсатор (на каждый метр примерно 50–100 пФ). Виды: бумажные, слюдяные, керамические, плёночные, электролитические (диэлектрик — очень тонкий оксидный слой: ёмкость большая, но конденсатор полярный), переменные с воздушным диэлектриком (настройка радиоприёмника), суперконденсаторы. Применение: фотовспышка и дефибриллятор (накопление энергии), сглаживание пульсаций напряжения в источниках питания, RC-таймеры, колебательный контур, сенсорные экраны.

Диэлектрик в поле: поляризация, векторы P и D

В поле диэлектрик поляризуется: в атомах смещается электронное облако (электронная поляризация), в ионных кристаллах смещаются ионы (ионная поляризация), полярные молекулы (например, воды) поворачиваются по полю (ориентационная поляризация). В результате на поверхностях диэлектрика появляются связанные заряды (тусклые кружки на сцене), которые ослабляют поле внутри. Вектор поляризации $\vec{P} = ε_{0} χ \vec{E}$ ( $χ$ — диэлектрическая восприимчивость), диэлектрическая проницаемость $ε = 1 + χ$ . Вектор электрической индукции (смещения) $\vec{D} = ε_{0} \vec{E} + \vec{P} = ε_{0} ε \vec{E}$ начинается только на свободных зарядах: $\oint \vec{D} \cdot d \vec{S} = q_{своб}$ , $div \vec{D} = ρ_{своб}$ — теорема Остроградского–Гаусса для диэлектриков. В частично вдвинутой пластине $E = U / d$ одинаково в обеих частях, а $D$ и плотность свободного заряда в диэлектрике в ε раз больше — переключите линии «E» и «D» и посмотрите. Макроскопическое $\vec{E}$ — среднее по объёму, содержащему много молекул, от очень неоднородного микроскопического поля между молекулами.

Граничные условия, сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики

На границе двух диэлектриков (если нет свободных зарядов) непрерывны тангенциальная составляющая $E$ и нормальная составляющая $D$ : $E_{1 t} = E_{2 t}$ , $D_{1 n} = D_{2 n}$ , поэтому силовые линии преломляются: $\tan α_{1} / \tan α_{2} = ε_{1} / ε_{2}$ . У сегнетоэлектриков (сегнетова соль, титанат бария BaTiO₃) ε достигает тысяч, зависимость $P (E)$ имеет гистерезис, а выше точки Кюри (для BaTiO₃ около 120 °C) это свойство исчезает; из них делают компактные керамические конденсаторы большой ёмкости. Пьезоэлектрики (кварц, турмалин, пьезокерамика) поляризуются при сжатии: в пьезозажигалке молоточек ударяет по кристаллу, возникают напряжение в несколько киловольт и искра; обратный эффект используется в кварцевых часах-резонаторах и источниках ультразвука. Электреты долго сохраняют поляризацию (электретные микрофоны). На высоких частотах поляризация не успевает: статическое ε воды ≈ 81, а для света $n^{2} \approx 1,78$ ( $n = \sqrt{ε}$ — дисперсия); в среде, поглощающей свет, показатель преломления становится комплексным числом.

Конденсатор и энергия поля

При зарядке каждый новый заряд $d q$ переносится против напряжения $U = q / C$ : $W = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C} d q = \frac{Q^{2}}{2 C} = \frac{C U^{2}}{2}$ ; для заряженного уединённого тела тоже $W = q φ / 2$ . Энергия находится в поле между пластинами: в единице объёма $w = ε_{0} ε E^{2} / 2 = E D / 2$ , в плоском конденсаторе $W = w \cdot S d$ (строка проверки в измерениях). Если ключ разомкнут ( $Q$ = const), работа, затраченная на раздвигание пластин, превращается в энергию поля, а диэлектрическая пластина сама втягивается внутрь, и $W$ уменьшается (график энергии). Конденсатор вспышки на 120 мкФ при 300 В накапливает примерно 5,4 Дж: зарядка длится секунды, разрядка — сотни микросекунд, так что мощность вспышки достигает десятков тысяч ватт.

Соединение, RC-цепь и переменный ток

При параллельном соединении напряжение на конденсаторах одинаково, заряды складываются: $C = C_{1} + C_{2} + \dots$ . При последовательном заряд одинаков, напряжения складываются: $1 / C = 1 / C_{1} + 1 / C_{2} + \dots$ — общая ёмкость меньше наименьшей, напряжение распределяется обратно пропорционально ёмкости. В RC-цепи конденсатор заряжается не сразу: по мере уменьшения тока $I = (U_{0} - U) / R$ зарядка замедляется, $U (t) = U_{0} (1 - e^{- t / R C})$ ; за время $τ = R C$ он заряжается на 63 %, за $5 τ$ — примерно на 99 %. В вспышке сопротивление цепи зарядки — килоомы, а у ксеноновой лампы ≈ 1 Ом — поэтому разрядка быстрее в тысячи раз. В цепи переменного тока ток через конденсатор идёт: ёмкостное сопротивление $X_{C} = 1 / (ω C)$ , ток опережает напряжение на четверть периода (90°). При последовательных R и C из векторной диаграммы $Z = \sqrt{R^{2} + X_{C}^{2}}$ ; с катушкой закон Ома $I = U / \sqrt{R^{2} + {(X_{L} - X_{C})}^{2}}$ , в комплексном виде $Z = R + i (ω L - 1 / ω C)$ — подробнее в эксперименте «Переменный ток».

Знаете ли вы?

Первый конденсатор — «лейденская банка» — был независимо изобретён в 1745 году Эвальдом Георгом фон Клейстом и в 1746 году в Лейдене Питером ван Мушенбруком.
Ёмкость всего земного шара как уединённого проводника — примерно 0,7 мФ, меньше, чем у обычного электролитического конденсатора на 1000 мкФ в электронике.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Источники тока, ЭДС, внутреннее r — 7 класс
Работа и мощность электрического тока — 8 класс
Электродвигатель — 8 класс
Полярное сияние и сила Лоренца — 8 класс
Электрическое поле и потенциал — 8 класс
Схемы и правила Кирхгофа — 8 класс
Электрический ток в металлах — 8 класс
Электролиз, законы Фарадея — 8 класс
Электрический ток в вакууме и газах — 8 класс
Магнитное поле — 8 класс