Физика · Электричество и магнетизм · 8 класс

Полярное сияние и сила Лоренца

Почему полярное сияние возникает только вокруг полюсов?

Ситуация

Зимней ночью на севере Норвегии или Канады в небе «танцуют» зелёные занавесы — это полярное сияние. Его создают заряженные частицы, пришедшие от Солнца. Но почему они попадают не на всю Землю, а только в кольцо вокруг полюсов? Ответ — в силе Лоренца: магнитное поле не останавливает частицу, а лишь поворачивает её и заставляет двигаться по спирали вдоль линий поля. Когда частица остаётся в магнитной «ловушке», а когда погружается в атмосферу?

Тема

Движение заряда в магнитном поле. Полярное сияние и ускоритель частиц

Ключевые понятия

Сила Лоренца
Радиус Лармора
Магнитное зеркало

Формулы

\vec{F} = q (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})

Сила Лоренца. Магнитная часть всегда перпендикулярна скорости — работу не совершает, энергия частицы не меняется.

r_{L} = \frac{m v_{⟂}}{| q | B}

Ларморовский радиус (радиус вращения). Для быстрых частиц вместо $m$ берётся $γ m$ .

f_{c} = \frac{| q | B}{2 π m}

Циклотронная частота: не зависит от скорости (в нерелятивистском случае).

{\vec{v}}_{d} = \frac{\vec{E} \times \vec{B}}{B^{2}}

Дрейф E×B: не зависит от знака заряда и массы.

\sin^{2} α > \frac{B_{m i n}}{B_{m a x}} = \frac{1}{R}

Условие захвата в магнитном зеркале; $α$ — питч-угол между скоростью и $\vec{B}$ .

Теория

Почему окружность и спираль?

Сила Лоренца перпендикулярна скорости, поэтому она лишь поворачивает направление: из $| q | v B = m v^{2} / r$ получаем $r_{L} = m v / (| q | B)$ . На составляющую скорости вдоль поля $v_{∥}$ сила не действует — окружность превращается в спираль. Симуляция решает уравнение движения $d \vec{p} / d t = q (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ , $\vec{p} = γ m \vec{v}$ методом Бориса: на каждом шаге вектор скорости поворачивается на точный угол, его длина не меняется — энергия сохраняется без ошибки. Если измерить радиус и скорость, находится удельный заряд: $| q | / m = γ v_{⟂} / (B r)$ — в таблице результатов режима «Однородное B» для электрона получается ≈ 1,76·10¹¹ Кл/кг (лабораторные методы — в эксперименте «Электрический ток в вакууме и газах»).

Собственное поле движущегося заряда

Частица не только «чувствует» поле, но и сама его создаёт. Магнитное поле медленного ( $v ≪ c$ ) заряда $\vec{B} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{q \vec{v} \times \vec{r}}{r^{3}}$ ; для равномерно движущегося заряда при любой скорости $\vec{B} = \vec{v} \times \vec{E} / c^{2}$ . Магнитное поле тока в проводе — сумма полей миллионов таких дрейфующих электронов (эксперимент «Магнитное поле»). Собственное поле одной частицы намного меньше внешнего $B$ , поэтому в симуляции не учитывается. Электрическая и магнитная части силы Лоренца зависят от системы отсчёта: наблюдатель, движущийся вместе с частицей, видит электрическое поле ${\vec{E}}^{'} \approx \vec{v} \times \vec{B}$ ( $v ≪ c$ ) («Специальная теория относительности»).

E×B-дрейф

Электрическое поле ускоряет частицу на одной половине орбиты (радиус растёт), а на другой замедляет (радиус уменьшается). В результате орбита смещается вбок: $v_{d} = E / B$ , перпендикулярно и $\vec{E}$ , и $\vec{B}$ . И электрон, и протон смещаются в одну сторону. Если $E = v B$ , частица летит по прямой — это фильтр скоростей (фильтр Вина), применяемый в масс-спектрометрах.

Магнитная бутылка

Если поле меняется медленно, магнитный момент $μ = m v_{⟂}^{2} / (2 B)$ сохраняется. Когда частица входит в более сильное поле, $v_{⟂}$ растёт, а поскольку энергия сохраняется, $v_{∥}$ уменьшается, и в точке $B = B_{m i n} / \sin^{2} α$ частица отражается назад. Если $\sin^{2} α < 1 / R$ , она уходит через «конус потерь». Это первый адиабатический инвариант. При колебаниях между зеркалами сохраняется второй, $J = \oint p_{∥} d s$ , а при медленном дрейфе вокруг Земли — третий (магнитный поток, охваченный дрейфовой оболочкой). Вращение, колебание и дрейф — три периодических движения, которые надолго удерживают частицы в ловушке: так образуются радиационные пояса Земли. Поле двух катушек точно вычисляется через эллиптические интегралы.

Полярное сияние

Поле Земли приблизительно дипольное: $B = B_{0} {(R_{\oplus︎} / r)}^{3} \sqrt{1 + 3 \sin^{2} λ}$ , линии $r = L R_{\oplus︎} \cos^{2} λ$ . Вблизи Земли поле сильное — Земля сама представляет собой огромную магнитную бутылку. Частицы в конусе потерь попадают в основание линии, на широту $\cos^{2} λ \approx 1 / L$ : для $L = 6 \dots 8$ это 65°–70° — авроральный овал. Упрощения: чистый диполь (без сжатия солнечным ветром и хвоста), без столкновений и электрических полей; в режиме «Земля» электроны считаются методом ведущего центра (они делают миллионы оборотов в секунду, радиус ~1 км), частицы потока вводятся прямо в конус потерь.

Солнце, солнечный ветер и ионосфера

Видимая поверхность Солнца — фотосфера (≈ 5800 K), над ней расположены тонкая хромосфера и очень разреженная, но миллионоградусная корона. Из короны непрерывно течёт поток плазмы — солнечный ветер — со скоростью 300–800 км/с. Солнечная активность (пятна, вспышки, выбросы корональной массы) меняется с периодом примерно 11 лет; сильный выброс достигает Земли за несколько суток и вызывает магнитную бурю и полярное сияние, видимое южнее обычного. Ветер сжимает поле Земли и образует границу магнитосферы (на дневной стороне ≈ 10 $R_{\oplus︎}$ — кнопка «Солнечный ветер»). Высоты 100–300 км, где светится сияние, лежат в ионосфере: это слой воздуха (примерно 60–1000 км), ионизованный ультрафиолетом Солнца и падающими частицами, он отражает короткие радиоволны. Подробнее о космической плазме — в эксперименте «Плазма — четвёртое состояние».

Знаете ли вы?

Самый частый зелёный цвет полярного сияния — излучение атомов кислорода с длиной волны 557,7 нм; оно возникает на высоте примерно 100–200 км. Выше кислород излучает красный свет (630,0 нм).
Радиационные пояса вокруг Земли были открыты в 1958 году приборами Джеймса Ван Аллена на спутниках «Explorer 1» и «Explorer 3» — поэтому их называют поясами Ван Аллена.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Электрическая цепь, закон Ома — 7 класс
Проводник, диэлектрик, молния — 7 класс
Источники тока, ЭДС, внутреннее r — 7 класс
Работа и мощность электрического тока — 8 класс
Электродвигатель — 8 класс
Электрическое поле и потенциал — 8 класс
Конденсатор и электрическая ёмкость — 8 класс
Схемы и правила Кирхгофа — 8 класс
Электрический ток в металлах — 8 класс
Электролиз, законы Фарадея — 8 класс