Физика · Электричество и магнетизм · 8 класс

Электрическое поле и потенциал

Какова «невидимая гора» вокруг заряда: силовые линии и эквипотенциальные поверхности

Ситуация

В сухой день, когда дотрагиваешься до дверной ручки, проскакивает щёлкающая искра; если потереть шар о волосы, они встают дыбом — всё это работа невидимого электрического поля вокруг заряда. Поле нельзя увидеть, но можно измерить по силе, действующей на пробный заряд. Физики изображают поле двумя видами «карт»: силовыми линиями и эквипотенциальными линиями, соединяющими точки с одинаковым потенциалом, — подобно горам и горизонталям на географической карте. Как распределено поле между зарядами и какую работу нужно совершить, чтобы перенести заряд из одной точки в другую?

Тема

Электрическое поле и потенциал. Силовые линии вокруг заряженных шаров и эквипотенциальные поверхности

Ключевые понятия

Напряжённость поля
Потенциал и работа
Теорема Гаусса

Формулы

\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_{0}}, E = k \frac{| q |}{r^{2}}, \vec{E} = \sum_{i} {\vec{E}}_{i}

Напряжённость — сила, действующая на пробный заряд; поле точечного заряда; принцип суперпозиции.

φ = k \frac{q}{r}, A_{12} = q_{0} (φ_{1} - φ_{2}) = - Δ W_{p}

Потенциал точечного заряда; работа по перемещению не зависит от пути и равна убыли потенциальной энергии ( $W_{p} = q_{0} φ$ ).

\vec{E} = - \nabla φ, E = \frac{U}{d}

Поле направлено в сторону самого быстрого убывания потенциала; в однородном поле $U = E d$ .

Φ_{E} = \oint \vec{E} \cdot d \vec{S} = \frac{Q_{внутр}}{ε_{0}}

Теорема Остроградского–Гаусса: поток через замкнутую поверхность зависит только от заряда внутри неё.

E_{пл} = \frac{σ}{2 ε_{0}}, E_{нити} = \frac{λ}{2 π ε_{0} r}, M = p E \sin α

Из теоремы Гаусса: поле бесконечной плоскости и нити; момент силы, действующий на диполь во внешнем поле ( $p = q l$ ).

Теория

Электрическое поле, напряжённость и суперпозиция

Вокруг каждого заряда существует электрическое поле — оно действует на другие заряды с силой. Чтобы измерить поле, берут маленький положительный пробный заряд $q_{0}$ (он не должен заметно менять поле): $\vec{E} = \vec{F} / q_{0}$ , единица — Н/Кл = В/м. Поле точечного заряда $E = k q / r^{2}$ . Поле нескольких зарядов — векторная сумма (принцип суперпозиции): кнопка «Суперпозиция» показывает на пробном заряде вклад каждого заряда и сумму. Заряды могут быть распределены линейно ( $λ$ , Кл/м), по поверхности ( $σ$ , Кл/м²) или по объёму ( $ρ$ , Кл/м³); их поле — сумма (интеграл) полей элементарных зарядов.

Силовые линии и графическое изображение поля

Силовые линии начинаются на положительном заряде и заканчиваются на отрицательном; в каждой точке касательная направлена вдоль $\vec{E}$ ; густота линий пропорциональна напряжённости поля; они никогда не пересекаются (в каждой точке $\vec{E}$ единствен). Однородное поле (между пластинами) — параллельные равноотстоящие линии. Цветовая карта показывает потенциал (красный — положительный, синий — отрицательный), тонкие линии — эквипотенциали с равным шагом $Δ φ$ : они перпендикулярны силовым линиям, а там, где они гуще, поле сильнее. В режиме «Рельеф» потенциал показан в виде горы и впадины: положительный пробный заряд движется «сверху вниз». Потенциал диполя на большом расстоянии убывает как $φ \sim 1 / r^{2}$ , квадруполя — как $\sim 1 / r^{3}$ : сравните наклон на графике «lg φ — lg r» (мультипольные моменты).

Работа, потенциал и потенциальная энергия

Электростатическая сила — потенциальная: работа по перемещению заряда не зависит от формы пути, а только от начальной и конечной точек: $A_{12} = q_{0} (φ_{1} - φ_{2})$ . Работа по замкнутому пути равна нулю — циркуляция напряжённости $\oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = 0$ . Протащите пробный заряд: «Работа вдоль пути» $\int \vec{F} \cdot d \vec{l}$ всегда равна $q_{0} Δ φ$ . Потенциал $φ = W_{p} / q_{0}$ ; разность потенциалов (напряжение) $U = φ_{1} - φ_{2}$ . Связь напряжённости и потенциала $\vec{E} = - \nabla φ$ (градиент потенциала): в однородном поле $E = U / d$ . Энергия системы зарядов $W = \sum_{i < j} k q_{i} q_{j} / r_{i j}$ показана в измерениях; энергия поля и её плотность — в эксперименте «Конденсатор и электрическая ёмкость».

Теорема Остроградского–Гаусса

Поток напряжённости $Φ = \oint \vec{E} \cdot d \vec{S}$ — число силовых линий, пересекающих поверхность. Теорема: поток через замкнутую поверхность равен $Q_{внутр} / ε_{0}$ — форма поверхности и внешние заряды не важны (линии внешних зарядов входят и снова выходят). При симметрии теорема сразу даёт поле: внутри заряженной сферы $E = 0$ , снаружи $k Q / r^{2}$ ; внутри равномерно заряженного шара $E = k Q r / R^{3}$ (потенциалы: внутри сферы постоянный $k Q / R$ , снаружи $k Q / r$ — на графике $φ (r)$ ); поле бесконечной нити $λ / (2 π ε_{0} r)$ (цилиндрическая поверхность); бесконечной плоскости — $σ / 2 ε_{0}$ (поверхность в форме коробки), между двумя разноимённо заряженными плоскостями $σ / ε_{0}$ , а снаружи — нуль. В дифференциальной форме $\nabla \cdot \vec{E} = ρ / ε_{0}$ , то есть $\nabla^{2} φ = - ρ / ε_{0}$ (уравнение Пуассона); в области без зарядов $\nabla^{2} φ = 0$ (уравнение Лапласа) — именно оно описывает распределение потенциала в электролитической ванне.

Однородное поле, диполь и движение заряда

Если пластины бесконечны, между ними $E = σ / ε_{0}$ ; у настоящих (конечных) пластин у краёв поле «растекается», а в центре оно чуть слабее — измерьте. Диполь ( $p = q l$ ) в однородном поле получает вращающий момент $M = p E \sin α$ и поворачивается вдоль поля; в неоднородном поле он втягивается в сторону более сильного поля. Электрон между пластинами получает ускорение $a = e E / m$ и описывает параболу, как брошенное тело (так работали кинескоп и осциллограф). Проводники и диэлектрики в поле — в экспериментах «Проводник, диэлектрик, молния» и «Конденсатор и электрическая ёмкость» (там же — вектор электрической индукции $\vec{D}$ , граничные условия и преломление силовых линий). Метод изображений: поле заряда возле заземлённой плоскости равно полю «заряда и его зеркального изображения противоположного знака» (Заряды → «Заряд и проводящая плоскость»). Другой метод — разделение переменных: например, потенциал диэлектрического шара в поле находится в виде ряда многочленов Лежандра (в том же эксперименте «Проводник…»).

Лаборатория: электролитическая ванна; модель

В ванну с водой опускают электроды и подают напряжение; зондом и вольтметром находят точки с одинаковым потенциалом — они образуют эквипотенциальную линию. Силовые линии проводят перпендикулярно к ним. Небольшой ток в воде не искажает форму поля: потенциал подчиняется тому же уравнению Лапласа (здесь оно решается на сетке с шагом 5 мм, стенки ванны ток не проводят). Модель: в режиме «Заряды» поле вычисляется в плоскости зарядов (сечение пространственного кулоновского поля); пластины считаются очень высокими (двумерная задача); движение электрона замедлено в $10^{8}$ раз, релятивистские поправки не учитываются. Если заряды движутся, потенциалы подчиняются (в калибровке Лоренца) волновым уравнениям Даламбера, и изменение распространяется со скоростью света — запаздывающие потенциалы (Льенара–Вихерта) и волны рассмотрены в эксперименте «Уравнения Максвелла» (антенна).

Знаете ли вы?

Понятие силовых линий ввёл в XIX веке английский физик Майкл Фарадей; он считал поле реальной сущностью, существующей в пространстве между зарядами.
Поверхность Земли заряжена отрицательно: на открытом воздухе у земли существует поле примерно 100–150 В/м, то есть воздух на высоте 2 м имеет потенциал примерно 200–300 В относительно земли. Мы этого не чувствуем: наше тело — проводник, оно искажает поле и само оказывается при одном потенциале.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Проводник, диэлектрик, молния — 7 класс
Источники тока, ЭДС, внутреннее r — 7 класс
Работа и мощность электрического тока — 8 класс
Электродвигатель — 8 класс
Полярное сияние и сила Лоренца — 8 класс
Конденсатор и электрическая ёмкость — 8 класс
Схемы и правила Кирхгофа — 8 класс
Электрический ток в металлах — 8 класс
Электролиз, законы Фарадея — 8 класс
Электрический ток в вакууме и газах — 8 класс