Физика · Электричество и магнетизм · 8 класс

Электрический ток в металлах

Если электроны в проводе не проходят и миллиметра в секунду, почему лампа загорается мгновенно?

Ситуация

Вы включаете чайник в розетку — ток появляется мгновенно. Но скорость упорядоченного движения электронов в медном проводе — доли миллиметра в секунду: метр провода они проходят за часы! А лампа накаливания в момент включения получает ток, в десятки раз больший рабочего, и чаще всего перегорает именно тогда. Что на самом деле движется внутри металла, откуда берётся сопротивление и почему оно зависит от температуры?

Тема

Электрический ток в металлах. Дрейф электронов в медном проводе и рост сопротивления лампы при нагревании

Ключевые понятия

Дрейфовая скорость
R(T) и сверхпроводимость
Эффект Холла

Формулы

j = \frac{I}{S} = n e v_{d}

Плотность тока: $n$ — концентрация свободных электронов, $v_{d}$ — скорость упорядоченного движения (дрейфа).

j = σ E, σ = \frac{1}{ρ} = \frac{n e^{2} τ}{m}

Закон Ома в дифференциальной форме (модель Друде): $τ$ — среднее время между столкновениями.

R = ρ \frac{l}{S}, R = R_{0} (1 + α t)

Сопротивление проводника и его зависимость от температуры ( $t$ — в °C, $R_{0}$ — сопротивление при 0 °C).

U_{H} = \frac{I B}{n q d}

Напряжение Холла: $d$ — толщина пластины; знак указывает знак носителей заряда.

\frac{κ}{σ} = L T, L \approx 2,44 \cdot 10^{- 8} Vt \cdot Ω / K^{2}

Закон Видемана–Франца: тепло- ( $κ$ ) и электропроводность ( $σ$ ) обеспечивают одни и те же электроны.

Теория

Что движется в металле?

В кристалле металла положительные ионы образуют решётку, а часть внешних электронов свободно перемещается по всему кристаллу. Это подтверждено опытами. Рикке (1901) пропускал ток через цилиндры Cu–Al–Cu в течение года: прошёл заряд около $3,5 \cdot 10^{6}$ Кл. Если бы ток переносили ионы меди, по формуле $m = M Q / (z F)$ перенеслось бы не менее 1,15 кг меди (даже если каждый ион, как при электролизе, переносит два заряда, Cu²⁺; а если в решётке ионы Cu⁺ — то 2,3 кг). Но масса не изменилась, и металлы не перемешались — значит, ток переносят не ионы, а одни и те же частицы во всех металлах. Толмен и Стюарт (1916) резко остановили быстро вращавшуюся катушку: заряды, продолжившие двигаться по инерции, дали короткий импульс тока, и по его заряду $q / m$ оказалось равным значению для электрона. Оба опыта вы можете увидеть в режиме «Доказательства».

Дрейфовая скорость и закон Ома (Друде)

Электроны в хаотическом движении сталкиваются с колебаниями ионов и дефектами. Поле $E$ разгоняет их между столкновениями, и в итоге возникает средняя дрейфовая скорость $v_{d} = e E τ / m$ . Отсюда $j = n e v_{d} = (n e^{2} τ / m) E = σ E$ — закон Ома в дифференциальной форме; если просуммировать его по длине и сечению провода, получится $U = I R$ . Закон Джоуля–Ленца тоже отсюда: $w = σ E^{2}$ (в единице объёма), $Q = I^{2} R t$ . В медном проводе при 10 А $v_{d}$ всего ≈ 0,7 мм/с. Лампа загорается мгновенно, потому что поле распространяется по проводу со скоростью, близкой к скорости света, и все электроны начинают смещаться одновременно.

Модель Зоммерфельда и трудности классической теории

Классическая теория (Друде) считает электроны идеальным газом: $v_{T} = \sqrt{3 k T / m} \approx 115$ км/с. Но она не может объяснить две вещи: вклад электронов в теплоёмкость намного меньше ожидаемого, и $ρ \propto T$ (классическая теория даёт $\sqrt{T}$ ). В модели Зоммерфельда электроны подчиняются принципу Паули и заполняют энергетические уровни до энергии Ферми $E_{F}$ (в меди ≈ 7 эВ). В токе и теплопереносе участвуют только электроны вблизи поверхности Ферми; их скорость $v_{F} \approx 1,6 \cdot 10^{6}$ м/с, длина свободного пробега ≈ 40 нм — в сто раз больше периода решётки: идеальная решётка не рассеивает электронную волну, её рассеивают только колебания и дефекты.

Сопротивление и температура, сверхпроводимость

При нагревании ионы колеблются сильнее, электроны рассеиваются чаще, $τ$ уменьшается — в чистых металлах сопротивление растёт почти линейно: $R = R_{0} (1 + α t)$ , $α \approx 1 / 273$ К⁻¹. У сплавов вроде константана и никелина $α$ очень мала — из них делают образцовые резисторы. Платиновый термометр (Pt100) как раз измеряет температуру по $R (t)$ . Сопротивление холодной нити лампы накаливания примерно в 15 раз меньше рабочего — отсюда большой ток в момент включения. Некоторые вещества ниже критической температуры полностью теряют сопротивление: ртуть при 4,2 К, керамика YBCO при ≈ 92 К (теплее жидкого азота!). Сверхпроводник вытесняет магнитное поле — магнит висит над ним.

Эффект Холла

Когда через пластину в магнитном поле идёт ток, сила Лоренца смещает носители заряда к одному краю. На краях накапливается заряд, возникает поперечное поле $E_{H}$ , которое уравновешивает силу Лоренца: $q E_{H} = q v_{d} B$ . Отсюда $U_{H} = I B / (n q d)$ . Знак напряжения показывает знак носителей: в меди и n-полупроводнике — отрицательный (электроны), в p-полупроводнике — положительный (дырки). В металлах $n$ велико, поэтому $U_{H}$ — единицы микровольт; в полупроводниках — милливольты, и из них делают датчики магнитного поля, бесконтактные измерители тока, датчики частоты вращения. У металлов вроде цинка и бериллия знак $U_{H}$ «неправильный» — это объясняет только зонная теория.

Закон Видемана–Франца и о модели

В металлах тепло тоже в основном переносят свободные электроны, поэтому хороший проводник электричества — и хороший проводник тепла: $κ = L σ T$ . Для меди $L σ T \approx 425$ Вт/(м·К), по таблице 401 — близко! В сплавах тепло переносят ещё и колебания решётки, и закон выполняется менее точно. Модель: окно решётки схематично (не в масштабе); дрейф по сравнению с тепловым движением преувеличен примерно в $4 \cdot 10^{8}$ раз; $ρ (T)$ линейна; в лампе учтено только излучение, $ρ_{W} \propto T^{1,2}$ , масса нити около 0,03 г. Для более точного измерения сопротивления служит мост Уитстона — в эксперименте «Схемы и правила Кирхгофа».

Знаете ли вы?

В 1911 году голландский физик Хейке Камерлинг-Оннес обнаружил, что при охлаждении ртути примерно до 4,2 К её сопротивление вдруг исчезает — так была открыта сверхпроводимость.
Эффект Холла открыл американский физик Эдвин Холл в 1879 году, будучи аспирантом Университета Джонса Хопкинса.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Электродвигатель — 8 класс
Полярное сияние и сила Лоренца — 8 класс
Электрическое поле и потенциал — 8 класс
Конденсатор и электрическая ёмкость — 8 класс
Схемы и правила Кирхгофа — 8 класс
Электролиз, законы Фарадея — 8 класс
Электрический ток в вакууме и газах — 8 класс
Магнитное поле — 8 класс
Электромагнит и реле — 8 класс
Встряхиваемый фонарик — 10 класс