Fizika · Elektr va magnetizm · 3-kurs

Vektor maydonlar: div va rot

Daryodagi parrakli g‘ildirak qayerda aylanadi va siklon shamoli qayerga yig‘iladi?

Vaziyat

Chirchiq bo‘yida turibsiz: daryo o‘rtasida suv tez, qirg‘oq yonida sekin oqadi, suzib borayotgan barglar esa sekin aylanadi. Ob-havo xaritasida siklon atrofida shamol aylanib, markazga yig‘iladi, yozda cho‘lda quyun changni osmonga ko‘taradi. Chimyon yonbag‘ridan chang‘ichi qaysi yo‘l bilan tushmasin, balandlik farqi bir xil — ammo pastdagi tezligi har xil. Maydonning qayerida «manba» bor, qayerida «uyurma» — va buni qanday o‘lchash mumkin?

Mavzu

Vektor maydonlar: gradient, divergensiya, rotor. Daryo oqimi va shamol xaritasi: manbalar, uyurmalar, Gauss va Stoks teoremalari

Asosiy tushunchalar

Gradient, divergensiya, rotor
Gauss va Stoks teoremalari
Potensial va uyurmali maydon

Formulalar

\nabla U = (\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}), \vec{F} = - \nabla U

Gradient — skalyar maydon eng tez o‘sadigan tomonga yo‘nalgan vektor, uzunligi — shu tomondagi o‘sish tezligi. Konservativ kuch potensial energiya gradientiga teskari.

div \vec{v} = \nabla \cdot \vec{v} = \lim_{V \to 0} \frac{1}{V} \oint_{S} \vec{v} \cdot d \vec{S}

Divergensiya — kichik hajmdan chiqayotgan oqimning shu hajmga nisbati (manba zichligi).

{(rot \vec{v})}_{n} = \lim_{S \to 0} \frac{1}{S} \oint_{L} \vec{v} \cdot d \vec{l}

Rotor — kichik kontur bo‘ylab sirkulyatsiyaning yuzaga nisbati. Kichik parrakli g‘ildirak $ω = \frac{1}{2} {(rot \vec{v})}_{n}$ burchak tezlik bilan aylanadi.

\oint_{S} \vec{v} \cdot d \vec{S} = \int_{V} \nabla \cdot \vec{v} d V

Ostrogradskiy–Gauss teoremasi: berk sirtdan chiqayotgan oqim sirt ichidagi hajm bo‘yicha olingan divergensiya integraliga (manbalar yig‘indisiga) teng.

\oint_{L} \vec{v} \cdot d \vec{l} = \int_{S} (\nabla \times \vec{v}) \cdot d \vec{S}

Stoks teoremasi. Qutb koordinatalarida ${(\nabla \times \vec{v})}_{z} = \frac{1}{r} \partial_{r} (r v_{θ}) - \frac{1}{r} \partial_{θ} v_{r}$ va $\nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{r} \partial_{r} (r v_{r}) + \frac{1}{r} \partial_{θ} v_{θ}$ ; nuqtaviy manba: $\nabla \cdot (Q \hat{r} / 2 π r) = Q δ (\vec{r})$ .

Nazariya

Vektor maydon, gradient va konservativ kuch

Har bir nuqtaga vektor mos qo‘yilsa — vektor maydon (daryo tezligi, shamol). Har bir nuqtaga son mos qo‘yilsa — skalyar maydon (balandlik, harorat, bosim). Skalyar maydonning gradienti $\nabla h$ eng tik ko‘tarilish tomonga yo‘nalgan, uzunligi — qiyalik; u gorizontallarga (bir xil balandlik chiziqlariga) perpendikulyar. «Chimyon» rejimida binafsha strelkalar tepaga, qizillari — $- m g \nabla h$ (yotiq yonbag‘irda og‘irlik kuchining yonbag‘ir bo‘ylab tashkil etuvchisiga yaqin) — pastga qaraydi. Potensial energiya va kuch $\vec{F} = - \nabla U$ bilan bog‘langan, shuning uchun og‘irlik kuchining ishi faqat boshlang‘ich va oxirgi balandlikka bog‘liq: $\oint \vec{F} \cdot d \vec{l} = 0$ , $rot \vec{F} = 0$ — bu konservativ kuch. Ishqalanish kuchi nokonservativ (dissipativ): uning ishi yo‘l uzunligiga bog‘liq va mexanik energiyani issiqlikka aylantiradi. Energiyaning saqlanishi — «Amerika tepaligi» tajribasida.

Divergensiya: manba va quyilish

$div \vec{v} = \partial v_{x} / \partial x + \partial v_{y} / \partial y (+ \partial v_{z} / \partial z)$ — birlik hajmdan chiqayotgan oqim. «Daryo» rejimidagi kichik kvadrat buni ta’rif bo‘yicha o‘lchaydi: kvadrat kichraygan sari $Φ / S \to div \vec{v}$ . Siqilmaydigan suv uchun (daryo, girdob) $div \vec{v} = 0$ : qancha kirsa, shuncha chiqadi. «Buloq» $\vec{v} = k (x, y)$ uchun $div \vec{v} = 2 k$ — suv tubdan chiqib turibdi. Ob-havoda yer yaqinida siklonga havo yig‘iladi ( $div < 0$ , havo ko‘tarilib bulut hosil qiladi), antisiklondan tarqaladi ( $div > 0$ , havo pastga tushadi, osmon ochiq).

Rotor: uyurma va parrakli g‘ildirak

${(rot \vec{v})}_{z} = \partial v_{y} / \partial x - \partial v_{x} / \partial y$ — maydonning mahalliy aylanishi: kichik g‘ildirak yoki barg $ω = \frac{1}{2} rot \vec{v}$ bilan aylanadi. Qattiq jism kabi aylanish $\vec{v} = Ω (- y, x)$ da $rot \vec{v} = 2 Ω$ . Ikki kutilmagan holat: (1) to‘g‘ri oqayotgan daryoda qirg‘oq yonida tezlik ko‘ndalang o‘zgaradi — $rot \vec{v} \neq 0$ , g‘ildirak aylanadi; (2) girdobning yadrosidan tashqarida ( $v_{θ} = Γ / 2 π r$ ) suv aylana bo‘ylab oqadi, ammo $rot \vec{v} = 0$ — bu potensial girdob (Renkin modeli). Nuqtadagi tezlik gradienti tenzori $J_{i j} = \partial v_{i} / \partial x_{j}$ : uning izi $tr J = div \vec{v}$ , antisimmetrik qismi esa aylanishni beradi: $J_{21} - J_{12} = rot \vec{v}$ ; simmetrik qismi — deformatsiya tezligi.

Gauss va Stoks teoremalari

Integrallarda vektor algebrasi ishlaydi: oqim — skalyar ko‘paytma $\vec{v} \cdot \vec{n}$ , sirkulyatsiya — $\vec{v} \cdot d \vec{l}$ , rotor esa «vektor ko‘paytma» $\nabla \times \vec{v}$ ko‘rinishida yoziladi. Ostrogradskiy–Gauss teoremasi: berk sirtdan chiqayotgan oqim sirt ichidagi hajm bo‘yicha olingan divergensiya integraliga teng. «Quyun» rejimidagi kubda buni tekshiring: siqilmaydigan havo uchun ( $div = 0$ ) kub qayerda bo‘lmasin $Φ = 0$ — yon tomonlardan kirgan havo tepadan chiqadi; kengayayotgan havo ( $div \vec{v} = 3 k$ ) uchun $Φ = 3 k V$ kubning o‘rniga bog‘liq emas. Stoks teoremasi: kontur bo‘ylab sirkulyatsiya kontur tortib turgan sirt orqali rotor oqimiga teng. Balandlik bilan kuchayadigan shamolda $rot \vec{v}$ gorizontal: gorizontal halqada $Γ = 0$ , normali rotor bo‘ylab yo‘nalgan vertikal halqada esa $Γ$ eng katta. Ikkala teorema elektrodinamikada Maksvell tenglamalarining integral va differensial shakllarini bog‘laydi — «Elektr maydon va potensial» va «Magnit maydon» tajribalarida.

Egri chiziqli koordinatalar va Dirak delta-funksiyasi

Aylanma maydonlarni qutb (silindrik) koordinatalarida yozish qulay: $v_{r}$ va $v_{θ}$ uchun div va rot formulalari «Asosiy formulalar» bo‘limida (Stoks teoremasi ostida). Masalan, $v_{θ} = Γ / 2 π r$ da $r v_{θ}$ o‘zgarmas, demak rot = 0. Nuqtaviy manba $\vec{v} = Q \hat{r} / 2 π r$ uchun $r \neq 0$ da div = 0, ammo uni o‘rab olgan har qanday kontur orqali oqim $Q$ ga teng: divergensiya bitta nuqtaga to‘plangan, $div \vec{v} = Q δ (x) δ (y)$ . «Shamol» rejimida markaz radiusi $a$ ni kichraytiring: div va rot markazga to‘planadi, oqim va sirkulyatsiya esa o‘zgarmaydi — delta-funksiya shu. Maydonni garmonikalarga yoyish (davriy bo‘lsa — Fur’e qatori, aks holda Fur’e integrali) — «Fur’e: tovush spektri» tajribasida.

Model nimalarni soddalashtiradi

Daryoda tezlik profili parabolik (laminar ideallashtirish; haqiqiy daryoda oqim turbulent va profil yassiroq), faqat sirtdagi ikki o‘lchovli oqim ko‘rilgan; barglar va g‘ildirak oqimni buzmaydi. Ob-havo — Gauss yadroli manba-girdoblar modeli, xarita real geografiya emas, Koriolis dinamikasi hisoblanmagan. Quyun — Byurgers girdobi (Navye–Stoks tenglamalarining aniq yechimi), yer yaqinidagi qatlam hisobga olinmagan. Tepalik — Chimyonga o‘xshash Gauss relyefi (haqiqiy xarita emas), chang‘ichi — moddiy nuqta, $μ$ o‘zgarmas, havo qarshiligi $k v^{2}$ ( $k$ = 0,22 kg/m, o‘chirib qo‘yish mumkin). Integrallar sonli hisoblanadi (Gauss–Lejandr va o‘rta nuqta usuli); ikki tomon orasidagi farq odatda 0,1 % dan kichik, kontur ingichka markaz (kichik $a$ ) ustidan o‘tganda esa kattaroq bo‘lishi mumkin.

Bilasizmi?

Divergensiya teoremasining umumiy isbotini 1826-yilda M. V. Ostrogradskiy issiqlik tarqalishini o‘rganayotib bergan; Gauss va Grin uning xususiy hollarini isbotlagan. Shuning uchun u Ostrogradskiy–Gauss teoremasi deb ham ataladi.
Stoks teoremasi birinchi marta Uilyam Tomsonning (lord Kelvin) Stoksga 1850-yil 2-iyulda yozgan maktubida uchraydi; Stoks uni 1854-yilda Kembrijdagi Smit mukofoti imtihoniga savol qilib bergan.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.