Физика · Механика · 7 класс

Метро: от станции до станции

Как поезд метро точно останавливается на нужном месте у следующей станции?

Ситуация

В Ташкентском метро поезд отходит от станции: сначала разгоняется, потом идёт с постоянной скоростью, затем тормозит и на следующей станции останавливается точно напротив знака остановки. Поручни в вагоне то отклоняются назад, то вперёд. Где машинист должен начать торможение и какова средняя скорость между станциями?

Тема

Равномерное и неравномерное движение. Ташкентское метро: график скорости между станциями

Ключевые понятия

Равноускоренное движение
Средняя и мгновенная скорость
Площадь под графиком v(t)

Формулы

v = v_{0} + a t, s = v_{0} t + \frac{a t^{2}}{2}

Равнопеременное движение: скорость меняется линейно, а путь — пропорционально квадрату времени.

s_{1} = \frac{v^{2}}{2 a_{1}}, s_{3} = \frac{v^{2}}{2 a_{2}}, x_{t} = D - \frac{v^{2}}{2 a_{2}}

Пути разгона и торможения; $x_{t}$ — точка начала торможения: поезд останавливается ровно на расстоянии $D$ .

v = \frac{d x}{d t}, a = \frac{d v}{d t}, x = \int_{0}^{t} v d t, a = \frac{2 s}{t^{2}}

Скорость — наклон касательной к $x (t)$ , путь — площадь под $v (t)$ . Последнее — формула для измерения ускорения при равноускоренном движении из состояния покоя.

v_{o ‘ r} = \frac{s}{t} = \frac{D}{t_{1} + t_{2} + t_{3}}

Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время. Она равна площади под графиком $v (t)$ , делённой на время.

\tan φ = \frac{a}{g}

Угол отклонения поручня показывает ускорение (акселерометр).

Теория

Равномерное и неравномерное движение

Между станциями поезд идёт в три этапа. При разгоне скорость растёт каждую секунду на $a_{1}$ , график пути $x (t)$ — парабола. При равномерном движении скорость постоянна, $x (t)$ — прямая, $a = 0$ . При торможении скорость равномерно уменьшается. При равномерном движении, сидя в вагоне, вы не чувствуете движения — поручни висят вертикально.

Мгновенная и средняя скорость

Спидометр показывает мгновенную скорость. Средняя скорость $v_{с р} = s / t$ — отношение всего пути ко всему времени. Из-за разгона и торможения она всегда меньше $v_{m a x}$ . Площадь под графиком $v (t)$ равна пройденному пути: площадь трапеции $\frac{1}{2} v_{m a x} (T + t_{2})$ даёт ровно $D$ .

Где нужно нажимать на тормоз?

Поезд, имея скорость $v$ и замедление $a_{2}$ , останавливается на пути $s_{3} = v^{2} / 2 a_{2}$ . Значит, торможение необходимо начать в точке $x_{t} = D - s_{3}$ . Если $s_{1} + s_{3} > D$ , поезд не успевает достичь $v_{m a x}$ : график скорости становится треугольником, а наибольшая скорость равна $v_{p} = \sqrt{2 D a_{1} a_{2} / (a_{1} + a_{2})}$ .

Поручень — акселерометр

В ускоряющемся вагоне на поручень будто действует направленная назад сила инерции $- m a$ . В равновесии нить натянута вдоль равнодействующей силы тяжести и этой силы: $\tan φ = a / g$ . При разгоне поручень отклоняется назад, при торможении — вперёд, затем немного колеблется. Модель: ускорения постоянны и меняются мгновенно, уклон, повороты и сопротивление воздуха не учитываются.

Модель, система отсчёта и виды движения

Поезд длиной 59 м принимаем за материальную точку: все его точки движутся одинаково (поступательное движение), положение задаётся одной координатой $x$ . Вагоны не деформируются — абсолютно твёрдое тело; три вагона — система материальных точек; воздух в тоннеле — сплошная среда. Поезд состоит из вещества, его притягивает вниз поле тяготения Земли (две формы материи); «пустое» пространство без частиц — физический вакуум — тоже имеет свои свойства в квантовой физике. Движение относительно: относительно платформы пассажир движется вместе с поездом, а относительно вагона покоится (камера «В вагоне»). Система отсчёта = тело отсчёта + координаты + часы. Траектория здесь прямая, поэтому путь равен модулю перемещения; если бы поезд вернулся назад, путь был бы $2 D$ , а перемещение — нулём. Колёса совершают вращательное движение, поезд — поступательное. Если тоннель поворачивает, даже при постоянной скорости появляется нормальное ускорение $a_{n} = v^{2} / R$ и поручни отклоняются вбок — криволинейное движение рассматривается в экспериментах «Поворот на наклонной трассе» и «Движение по окружности: велосипед».

Графики: производная, площадь и масштаб

Координата, скорость и ускорение — векторные величины; на прямой их направление указывает знак (при торможении $a < 0$ ). Мгновенная скорость — наклон касательной к графику $x (t)$ , $v = d x / d t$ (производная); при равномерном движении график — прямая, при ускоренном — парабола. Ускорение $a = d v / d t$ — наклон $v (t)$ . Обратная операция — интеграл: путь равен площади под графиком $v (t)$ . Чтобы перевести площадь в метры, нужен масштаб: прямоугольник 10 с × 10 км/ч на графике соответствует пути $10 \cdot 10 / 3,6 \approx 27,8$ м. Инженеры проектируют графики движения поездов и кривые торможения именно по таким графикам. Лабораторная работа: когда поезд отходит из состояния покоя, в таблицу записывают время, за которое его голова проходит каждую отметку 25 м; из $s = a t^{2} / 2$ получаем $a = 2 s / t^{2}$ . Ускорение можно найти и по отклонению поручня: $a = g tg φ$ .

Знаете ли вы?

Ташкентское метро открыто в 1977 году — это первый метрополитен в Центральной Азии.
Ускорение можно измерить по отклонению поручня: при $a = 1$ м/с² $φ = \arctan (1 / 9,81) \approx {5,8}^{\circ}$ . Акселерометр в смартфонах тоже основан на явлении инерции.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Физические величины и измерения — 7 класс
Масса и плотность — 7 класс
Торможение автомобиля — 7 класс
Давление твёрдого тела — 7 класс
Атмосферное давление — 7 класс
Законы Ньютона — 7 класс
Американские горки — 7 класс
История физики: Беруни, Улугбек — 7 класс
Векторы и относительность движения — 7 класс
Движение по окружности: велосипед — 7 класс