Fizika · Molekulyar fizika va termodinamika · 9-sinf

Entropiya va vaqt yo‘nalishi

Aralashgan gazlar nega o‘z-o‘zidan ajralmaydi, vaqtni orqaga bursak-chi?

Vaziyat

Choyga bir qoshiq shakar solsangiz, u eriydi va butun piyolaga tarqaladi — lekin hech kim shakarning o‘z-o‘zidan yana bir joyga yig‘ilganini ko‘rmagan. Xona burchagida atir sepilsa, hid butun xonaga yoyiladi. Nyuton mexanikasi esa vaqtga nisbatan simmetrik: har bir to‘qnashuvni teskari yo‘nalishda ham “o‘ynatish” mumkin. Unda nega jarayonlar faqat bir tomonga boradi? Ikki gazni ajratib turgan to‘siqni oling, keyin vaqtni orqaga burib ko‘ring.

Mavzu

Statistik fizika va entropiya. Gazlar aralashishi: nega teskarisi o‘z-o‘zidan bo‘lmaydi

Asosiy tushunchalar

Mikroholat va makroholat
S = k ln W
Loshmidt paradoksi

Formulalar

S = k \ln W

Bolsman formulasi: makroholat entropiyasi uni amalga oshiruvchi mikroholatlar soni — statistik vazn $W$ bilan aniqlanadi. $k = 1,38 \cdot 10^{- 23}$ J/K.

W = C_{N}^{n} = \frac{N!}{n! (N - n)!}, P = 2^{- N}

$N$ ta zarradan $n$ tasi chap yarmida bo‘ladigan usullar soni (eng katta qiymati $n = N / 2$ da) va barcha zarralarning tasodifan “o‘z” yarmiga yig‘ilish ehtimoli: $N = 400$ da $\approx 10^{- 120}$ .

S = - k \sum_{i} p_{i} \ln p_{i}

Dag‘al donalangan (kataklar bo‘yicha) entropiya: $p_{i}$ — zarraning $i$ -katakda (va shu turda) bo‘lish ehtimoli. $- S / k$ — Bolsmanning $H$ funksiyasi.

Δ S = N k \ln 2

Ikki gaz aralashganda yoki gaz bo‘shliqqa kengayib hajmi 2 marta oshganda entropiya o‘sishi.

d S \geq \frac{δ Q}{T}, F = U - T S, A_{m a x} = - Δ F

Klauzius tengsizligi (tenglik — faqat qaytar jarayonda) va erkin energiya: o‘zgarmas haroratda olish mumkin bo‘lgan eng katta ish.

Nazariya

Mikroholat, makroholat va ansambl

Makroholat — biz o‘lchaydigan narsa: chap yarmida nechta ko‘k zarra bor. Mikroholat — har bir zarraning aniq joyi va tezligi. Bitta makroholatni ko‘p mikroholatlar beradi; ularning soni $W = C_{N}^{n}$ — makroholatning statistik vazni (termodinamik ehtimolligi). Tajriba moddani o‘rganishning uch usulini ko‘rsatadi: dinamik (kompyuter har bir diskning harakat tenglamasini yechadi), statistik (ehtimolliklar va $W$ ) va termodinamik (faqat makroskopik kattalik — entropiya). Yopiq patnisda energiya o‘zgarmaydi (panelda E/E₀); bunday izolyatsiyalangan sistemaning barcha mumkin bo‘lgan mikroholatlari teng ehtimolli — mikrokanonik taqsimot, shuning uchun $P (n) = W (n) / 2^{N}$ . Grafikdagi egri chiziq — ansambl bo‘yicha taqsimot, ustunlar esa bitta patnisni uzoq kuzatib vaqt bo‘yicha yig‘ilgan gistogramma: ikkalasi deyarli ustma-ust tushadi (disklarning o‘z o‘lchami tufayli gistogramma biroz torroq). Zarralar bir-biridan statistik mustaqil, shuning uchun ehtimolliklar ko‘paytiriladi: $P = {(1 / 2)}^{N}$ . Kvant mexanikasida ansambl zichlik matritsasi bilan tavsiflanadi.

Entropiya o‘sishi va II qonun

Quti $6 \times 3$ katakka bo‘lingan. Zarralar kataklar va turlar bo‘yicha qancha tekis taqsimlansa, $S = - k \sum p \ln p$ shuncha katta. To‘siq olingach, $S$ maksimumga — $Δ S = N k \ln 2$ ga intiladi va atrofida kichik tebranadi; tebranishlar $1 / \sqrt{N}$ kabi kichrayadi. Bu Bolsman H-teoremasining ko‘rinishi: to‘qnashuvlar natijasida $H = - S / k$ kamayadi — entropiyaning o‘sish qonuni. Izolyatsiyalangan sistemada muvozanat — entropiya maksimumi; undan og‘ishlar kamroq ehtimolli, shuning uchun muvozanat turg‘un (turg‘unlik shartlari: $C_{V} > 0$ , ${(\partial p / \partial V)}_{T} < 0$ ). II qonunning klassik ta’riflari: Klauzius — issiqlik o‘z-o‘zidan sovuq jismdan issiq jismga o‘tmaydi; Tomson (Kelvin) — yagona issiqlik manbaidan olingan issiqlikni to‘liq ishga aylantiradigan davriy mashina yo‘q. Bolsman talqinida II qonun — statistik qonun: $N = 6$ da gazlar o‘z-o‘zidan qayta ajralishi mumkin, $N = 400$ da bunga koinot yoshidan ham ko‘p vaqt kerak. Nurlanishning ham entropiyasi bor — “Issiqlik nurlanishi va Plank” tajribasida.

Qaytar va qaytmas jarayonlar

Qaytar (kvazistatik) jarayon cheksiz sekin, muvozanat holatlar ketma-ketligi orqali boradi va teskari yo‘nalishda ham o‘ta oladi: masalan, gazlarni yarim o‘tkazuvchan porshenlar bilan sekin aralashtirish. To‘siqni birdan olish esa qaytmas: oraliq holatlar muvozanatda emas. Har qanday jarayon uchun Klauzius tengsizligi $d S \geq δ Q / T$ , tenglik — faqat qaytar jarayonda. Shundan termodinamikaning asosiy tenglamasi: qaytar jarayonda $T d S = d U + p d V$ , qaytmasda $T d S > d U + p d V$ . “Gaz → bo‘shliq” rejimida $Q = 0$ , lekin $Δ S = N k \ln 2 > 0$ — tengsizlik qat’iy. Kataklar lokal muvozanatni ko‘rsatadi: har bir katak o‘zicha deyarli muvozanatda, zarralar esa qo‘shni kataklar orasida oqadi — har bir tur uchun balans tenglamasi: katakdagi zarralar sonining o‘zgarishi = kiruvchi oqim − chiquvchi oqim (zarralar saqlanadi). Oqimlar entropiya hosil qiladi: panelda $d S / d t \geq 0$ , muvozanatda u nolga tushadi.

Loshmidt paradoksi va model

Agar barcha tezliklarni aniq teskariga o‘zgartirsak, Nyuton qonunlari bo‘yicha zarralar o‘z yo‘lidan qaytadi va gazlar qayta ajraladi. Bu simulyatsiyada hisob butun sonlarda olib boriladi, shuning uchun «Vaqtni orqaga» har bir zarrani boshlang‘ich joyiga aniq qaytaradi. Ammo zarralar holatiga $10^{- 12}$ qadar xato kiritilsa, har bir to‘qnashuv uni bir necha marta kattalashtiradi (xaos): bir necha o‘nlab to‘qnashuvdan keyin “eslash” yo‘qoladi. Demak, mikroskopik qonunlar qaytuvchan, makroskopik jarayonlar esa qaytmas — qaytmaslik ehtimolliklar va boshlang‘ich shartlardan kelib chiqadi. Siyrak gaz uchun buni Bolsmanning kinetik tenglamasi tavsiflaydi (“Ko‘chish hodisalari” tajribasida). Model: ikki o‘lchamli disklar; to‘qnashuvlar — juda qattiq elastik itarilish, kinetik energiya ≈ 2 % aniqlikda saqlanadi (panelda E/E₀). Integrator — butun sonli “leapfrog” (Levesque–Verlet usuli). Chekli $N$ sababli o‘lchangan $Δ S$ maksimumi $N k \ln 2$ dan biroz kichik ( $N = 400$ da ≈ 96 %).

Erkin energiya, III qonun va manfiy temperatura

Atrof bilan issiqlik almashadigan sistemalar uchun termodinamik potensiallar qulay: ichki energiya $U$ , entalpiya (issiqlik funksiyasi) $H = U + p V$ , erkin energiya $F = U - T S$ va Gibbs potensiali $G = H - T S$ . Ularning differensiallaridan Maksvell munosabatlari chiqadi: masalan, $d F = - S d T - p d V$ dan ${(\partial S / \partial V)}_{T} = {(\partial p / \partial T)}_{V}$ ; Gibbs–Gelmgols tenglamasi: $U = F - T {(\partial F / \partial T)}_{V}$ . O‘zgarmas $T$ da sistema $F$ minimumiga, o‘zgarmas $T$ va $p$ da $G$ minimumiga intiladi (fazalar muvozanati — “Fazaviy o‘tishlar” tajribasida). Ideal gazlar aralashganda $U$ o‘zgarmaydi, $Δ F = - T Δ S$ : aralashishni qaytar o‘tkazganda $T Δ S$ ish olish mumkin edi — panelda bu “yo‘qotilgan maksimal ish”. III qonun (Nernst teoremasi): $T \to 0$ da entropiya nolga intiladi ( $W = 1$ ), shuning uchun issiqlik sig‘imlari ham nolga intiladi va absolyut nolga chekli qadamlarda yetib bo‘lmaydi. Ikki sathli sistema: $N$ ta spinning $n$ tasi yuqori sathda ( $ε$ ) bo‘lsa, $W = C_{N}^{n}$ — pastdagi grafik aynan shu. $1 / T = \partial S / \partial E = (k / ε) \ln \frac{N - n}{n}$ : $n > N / 2$ bo‘lsa (lazerdagi kabi sathlar inversiyasi), $T < 0$ — manfiy absolyut temperatura; bunday sistema har qanday musbat temperaturali jismdan “issiqroq”: undan issiqlik doim chiqib ketadi.

Maksvell demoni

Maksvell 1867-yilda shunday fikriy tajriba taklif qilgan: to‘siqdagi eshikni “demon” boshqaradi — ko‘k zarrani faqat chapga, to‘q sariqni faqat o‘ngga o‘tkazadi. Ish bajarilmaydi, ammo gazlar ajraladi va entropiya kamayadi — II qonun buzilgandek. «Maksvell demoni» rejimida buni ko‘ring (modelda eshik — to‘siqning o‘rtadagi uchdan bir qismi): $Δ S < 0$ . Jumboqning yechimi — ma’lumot. Demon har bir yaqinlashgan zarrani ko‘rib, qaror qabul qiladi va uni xotirasiga yozadi — har bir qaror 1 bit. Xotira cheksiz emas: uni o‘chirishda kamida $k T \ln 2$ issiqlik ajraladi (Landauer prinsipi, 1961). Panelda demon qarorlari soni gaz entropiyasi kamayishidan ancha ko‘p: $n_{b i t} k \ln 2 > | Δ S |$ — demon bilan birgalikda umumiy entropiya kamaymaydi. Entropiyani ko‘pincha tartibsizlik o‘lchovi deyishadi; aniqrog‘i, u makroholatga mos mikroholatlar soni — sistema haqida yetishmayotgan ma’lumot o‘lchovi.

Bilasizmi?

Lyudvig Bolsmanning Venadagi qabr toshiga uning entropiya formulasi $S = k \log W$ o‘yib yozilgan.
Vaqtni orqaga burish e’tirozini 1876-yilda avstriyalik fizik Iozef Loshmidt bildirgan — shuning uchun u “Loshmidt paradoksi” deb ataladi.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.