Физика · Оптика · 11 класс

Интерференция и дифракция

Почему компакт-диск и мыльный пузырь переливаются цветами радуги?

Ситуация

Если поднести компакт-диск к свету, на его поверхности вспыхивает радуга; мыльный пузырь переливается синим, жёлтым, розовым — хотя ни диск, ни мыльная вода не цветные. Если направить лазерную указку на CD, на стене появится несколько чётких пятен. Эти цвета — не краска: световые волны усиливают или гасят друг друга. Как с помощью обычного CD и линейки измерить длину волны лазера — миллионную долю метра?

Тема

Интерференция и дифракция. Мыльный пузырь и цвета компакт-диска

Ключевые понятия

Интерференция
Дифракционная решётка
Тонкая плёнка

Формулы

d \sin θ = m λ, \tan θ_{m} = \frac{x_{m}}{L}

Дифракционная решётка: $d$ — период (на CD расстояние между дорожками 1,6 мкм, на DVD — 0,74 мкм), $m$ — порядок, $x_{m}$ — расстояние на экране от центрального пятна до $m$ -го пятна, $L$ — расстояние от решётки до экрана.

I = I_{0} \cos^{2} (\frac{π d \sin θ}{λ}) {sinc}^{2} (\frac{π a \sin θ}{λ})

Опыт Юнга: $d$ — расстояние между щелями, $a$ — ширина щели.

Δ x \approx \frac{λ L}{d}

Расстояние между интерференционными полосами (при малых углах). Для бипризмы Френеля $d = 2 a (n - 1) β$ — расстояние между двумя мнимыми источниками, $L = a + b$ .

Δ = 2 n h \cos θ_{t} + \frac{λ}{2}

Тонкая плёнка: разность хода двух отражённых волн; $λ / 2$ — при отражении от передней поверхности фаза сдвигается на 180°.

r_{m} = \sqrt{m λ R}, R = \frac{D_{m}^{2} - D_{k}^{2}}{4 λ (m - k)}

Кольца Ньютона: радиус $m$ -го тёмного кольца в отражённом свете; по диаметрам $D$ двух колец находят радиус кривизны линзы.

Теория

Интерференция

Когда встречаются две когерентные волны, при разности хода $Δ = m λ$ они усиливаются (светлая полоса), а при $Δ = (m + \frac{1}{2}) λ$ — гасятся (тёмная полоса): это условия максимума и минимума. В среде считают оптическую длину пути $n l$ , разность фаз $Δ φ = 2 π Δ / λ$ . В опыте Юнга волны от двух щелей дают на экране чередующиеся светлые и тёмные полосы; дифракция на каждой щели при этом заключает полосы в «огибающую» ${sinc}^{2}$ .

Когерентность и принцип Гюйгенса — Френеля

Устойчивая картина видна только у когерентных волн — волн, разность фаз которых не меняется со временем. Реальный источник излучает не бесконечную синусоиду, а «обрывки» волны конечной длины: время когерентности $τ \approx 1 / Δ ν$ , длина когерентности $l = c τ \approx λ^{2} / Δ λ$ . Если разность хода превышает $l$ , картина исчезает. В белом свете ( $Δ λ \approx 300$ нм) $l \approx 1$ мкм — поэтому нижняя часть мыльной плёнки толще ≈ 1 мкм почти бесцветна; у многомодового He–Ne-лазера $l$ достигает десятков сантиметров. Пространственная когерентность зависит от размера источника: Юнг поставил перед двумя щелями одно маленькое отверстие, а лазерный луч когерентен по всему сечению. Дифракцию объясняет принцип Гюйгенса — Френеля: каждая точка волнового фронта — источник вторичных волн, колебание в точке наблюдения — результат их интерференции. Поэтому волна заходит от края щели в область геометрической тени; волны на поверхности воды, пройдя узкий проём, расходятся так же. Зоны Френеля и дифракция на отверстии — в эксперименте «Разрешающая способность».

Дифракционная решётка: CD и DVD

Спиральная дорожка на CD — это множество параллельных линий: лучи, отражённые от соседних дорожек, усиливаются в направлениях $d \sin θ = m λ$ . Поскольку линий очень много, максимумы получаются тонкими и яркими пятнами. Дорожки DVD расположены плотнее — пятна отклоняются на больший угол. В белом свете каждый цвет уходит под своим углом — решётка даёт дифракционный спектр: в отличие от призмы, красный луч отклоняется сильнее всего, фиолетовый — слабее всего. Отсюда радуга на диске.

Цвета мыльной плёнки

Две волны, отражённые от передней и задней поверхностей плёнки, интерферируют. При отражении от передней поверхности (воздух → вода) фаза волны сдвигается на 180°, от задней — нет. В зависимости от толщины одни цвета гасятся, другие остаются видимыми. Места одинаковой толщины имеют одинаковый цвет — это полосы равной толщины (вертикальная плёнка — клин, полосы горизонтальны). В толстой же пластинке разность хода зависит от наклона луча, и образуются полосы равного наклона (кольца). Цвета рассчитываются по спектру 380–780 нм и переводятся в цвет с помощью кривых чувствительности глаза (CIE 1931); чтобы они были видны, яркость усилена примерно в 12 раз.

Кольца Ньютона, бипризма и применения

Если плосковыпуклую линзу положить на стеклянную пластинку, между ними образуется воздушный слой толщиной $h = r^{2} / (2 R)$ . В отражённом свете там, где $2 h = m λ$ , — тёмные кольца: $r_{m} = \sqrt{m λ R}$ ; центр тёмный, потому что на нижней поверхности фаза сдвигается на 180°. В лаборатории диаметр кольца измеряют по шкале микроскопа с обоих краёв, и находят $R = (D_{m}^{2} - D_{k}^{2}) / (4 λ (m - k))$ — разность исключает ошибку из-за пылинки в точке касания. Бипризма Френеля (две призмы с очень малым преломляющим углом $β$ ) делит луч источника надвое и создаёт два мнимых когерентных источника на расстоянии $d = 2 a (n - 1) β$ друг от друга; на экране $Δ x = λ (a + b) / d$ . Бизеркала Френеля и билинза Бийе дают такие же два источника. Применения: просветляющее покрытие линз (толщиной $λ / (4 n)$ , например MgF₂, $n \approx 1,38$ — волны, отражённые от двух поверхностей, гасят друг друга), проверка гладкости поверхности по эталонной стеклянной пластине и кольцам Ньютона, интерферометры («Интерферометры и LIGO»), голография («Физика лазера и голография»).

Чёрная плёнка и границы модели

Вертикальная плёнка под действием силы тяжести стекает вниз: верх истончается, а цветные полосы сползают вниз. Когда толщина $h ≪ λ / (4 n)$ , две волны гасятся почти полностью — плёнка выглядит чёрной (при толщине меньше ≈ 25 нм отражается менее 1 % белого света). Закон истончения плёнки в модели эмпирический (зависит от сорта мыла); для лазерной решётки точно определены только порядки, яркость пятен приблизительна. В бипризме не учтена дифракция на краях области, в кольцах Ньютона — отражения внутри линзы; номера колец в окуляре добавлены для облегчения счёта.

Знаете ли вы?

Расстояние между информационными дорожками на CD — 1,6 мкм, на DVD — 0,74 мкм, а на диске Blu-ray — 0,32 мкм, поэтому Blu-ray читают сине-фиолетовым (405 нм) лазером.
Томас Юнг в начале XIX века (1801–1803 годы) своими опытами по интерференции показал волновую природу света и одним из первых оценил длины волн разных цветов.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Лазер, вода и оптоволокно — 7 класс
Глаз и очки — 7 класс
Тень и затмения — 7 класс
Измерение скорости света — 9 класс
Оптические приборы — 9 класс
Поляризация света — 11 класс
Физика лазера и голография — 11 класс
Световой поток и освещённость — 11 класс
ИК-, УФ- и рентгеновское излучение — 11 класс
Рассеяние света — 1 курс