Физика · Оптика · 7 класс

Глаз и очки

Почему очки «−3» подходят одному человеку и не подходят другому?

Ситуация

Азиз, ученик 8 класса, стал плохо видеть запись на доске, но книгу читает свободно. А его бабушка, наоборот, держит газету подальше, на вытянутой руке. Врач выписал очки им обоим: одному «−3,75», другой «+2,5». Что означают эти числа и почему одни и те же очки подходят не всем?

Тема

Линзы, глаз и очки. Близорукость и дальнозоркость: подбор очков

Ключевые понятия

Формула тонкой линзы
Оптическая сила
Аккомодация

Формулы

\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d^{'}}

Формула тонкой линзы: $d$ — расстояние до предмета, $d^{'}$ — до изображения ( $d^{'} < 0$ — мнимое изображение).

D = \frac{1}{f}

Оптическая сила, диоптрия (1 дптр = 1 м⁻¹). У собирающей линзы $D > 0$ , у рассеивающей $D < 0$ .

D = D_{1} + D_{2}

Оптические силы близко расположенных линз складываются: глаз + очки.

Γ = \frac{d^{'}}{d}

Линейное увеличение: действительное изображение перевёрнутое.

D_{оч} = - \frac{1}{d_{дальн}}

Очки для близорукого глаза: переносят изображение далёкого предмета в «дальнюю точку» глаза.

Теория

Глаз — живой фотоаппарат

Свет преломляют в основном роговица (≈ 43 дптр) и хрусталик; оптическая сила всего глаза ≈ 60 дптр. На сетчатке получается действительное, перевёрнутое, уменьшенное изображение — мозг «переворачивает» его обратно. При взгляде на близкий предмет ресничная мышца делает хрусталик более выпуклым — аккомодация: оптическая сила возрастает на несколько диоптрий.

Близорукость и дальнозоркость

При миопии глазное яблоко длиннее: изображение далёкого предмета образуется перед сетчаткой, а на сетчатке — размытый кружок. Исправляет её рассеивающая линза ( $D < 0$ ). При гиперметропии глаз короче, изображение — за сетчаткой; молодой глаз справляется с этим аккомодацией, но смотреть вблизи становится трудно — нужна собирающая линза ( $D > 0$ ). В модели 1 мм длины соответствует ошибке ≈ 2,6–2,8 дптр.

Возраст и ближняя точка

Ближайшая точка, которую глаз видит чётко, — ближняя точка: $d_{ближ} = 1 / (A_{m a x} + \dots)$ . С возрастом хрусталик твердеет, и $A_{m a x}$ уменьшается (в модели в среднем $18,5 - 0,3 \cdot возраст$ , дптр). В 14 лет ближняя точка ≈ 7 см, в 60 лет ≈ 2 м — это пресбиопия, для чтения нужны очки «+».

Круг размытия

Если изображение не попадает на сетчатку, каждая точка превращается в кружок диаметром $c$ . Его угловой размер ≈ диаметр зрачка × расфокусировка: при зрачке 4 мм ошибка 1 дптр ≈ 14 угловых минут, а детали букв — ~1 минута. Когда зрачок сужается, кружок тоже уменьшается — поэтому, если прищуриться, видно лучше. Упрощения: глаз — одна преломляющая поверхность ( $n^{'} = 1,336$ ), оптическая сила очков прибавляется напрямую, учитывается только геометрическое размытие.

Лаборатория линз

Фокусное расстояние собирающей линзы: получив на экране чёткое изображение, измерьте $d$ и $d^{'}$ : $f = d d^{'} / (d + d^{'})$ , оптическая сила $D = 1 / f$ ; возьмите среднее для нескольких $d$ («Неизвестная A»). Рассеивающая линза сама действительного изображения не даёт, поэтому изображение $S^{'}$ от вспомогательной собирающей линзы служит для неё мнимым предметом: если линзу B поставить перед $S^{'}$ на расстоянии $a$ , новое действительное изображение $S^{''}$ образуется на расстоянии $b$ от неё, и $1 / f_{B} = 1 / b - 1 / a$ (результат отрицательный). Фокусное расстояние линзы зависит от показателя преломления и радиусов кривизны поверхностей: $1 / f = (n - 1) (1 / R_{1} + 1 / R_{2})$ (радиус выпуклой поверхности берут положительным, вогнутой — отрицательным). Радиус измеряет сферометр: три ножки стоят на окружности радиуса $r$ , при касании центрального винта поверхности считывают стрелу прогиба $h$ ; из прямоугольного треугольника ${(R - h)}^{2} + r^{2} = R^{2}$ , то есть $R = r^{2} / (2 h) + h / 2$ . Радиус можно найти и по кольцам Ньютона (эксперимент «Интерференция и дифракция»).

Зеркала и аберрации

Сферическое зеркало, как и линза, строит изображение: $1 / f = 1 / d + 1 / d^{'}$ , $f = R / 2$ — об автомобильных зеркалах и фарах — в эксперименте «Зеркала автомобиля и перископ». Изображение реальной линзы неидеально — аберрации: крайние лучи преломляются сильнее центральных (сферическая), цвета фокусируются в разных местах (хроматическая), при наклонном пучке точка превращается в пятно в форме запятой (кома), лучи наклонного пучка в двух взаимно перпендикулярных плоскостях фокусируются на разных расстояниях (астигматизм), увеличение меняется к краю (дисторсия). Астигматизм глаза исправляют цилиндрическими очками. Измерение и уменьшение аберраций — в эксперименте «Оптические приборы»; линзы здесь тонкие и параксиальные, аберрации не учитываются.

Знаете ли вы?

Примерно две трети оптической силы глаза даёт роговица (≈ 43 дптр), остальное — хрусталик; сила всего глаза около 60 диоптрий.
В молодости хрусталик может увеличить оптическую силу более чем на 10 диоптрий, к 50 годам эта способность снижается до нескольких диоптрий — поэтому после 40–45 лет многим для чтения нужны очки.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Зеркала автомобиля и перископ — 7 класс
Лазер, вода и оптоволокно — 7 класс
Тень и затмения — 7 класс
Измерение скорости света — 9 класс
Оптические приборы — 9 класс
Интерференция и дифракция — 11 класс
Поляризация света — 11 класс
Физика лазера и голография — 11 класс
Световой поток и освещённость — 11 класс
ИК-, УФ- и рентгеновское излучение — 11 класс